数学与电路模拟题

模拟题1．设区域222:1xyz确定，则2xydxdydz。2．设yuxyx，则yu。3．幂级数11nnxn的收敛半径R。4．微分方程20yyy的通解是。5．函数2246812zxxyyxy的驻点是。二、选择题（每小题3分，共15分）1．三元函数222ln(1)uxyz在点(1,1,1)处的全微分是（）A．dxdydzB．1()3dxdydzC．1()2dxdydzD．111234dxdydz2．二元函数22229ln(1)uxyxy的定义域为（）A．22{(,)|19}xyxy；B．22{(,)|19}xyxy；C．22{(,)|19}xyxy；D．2{(,)|19}xyxy3．对于级数1nnu，若lim0nnu，则（）A．1nnu必收敛；B．1nnu必发散；C．不能判断1nnu的敛散性；D．120nnSuuu4．微分方程224'468xyyyxe的一个特解应具有的形式为（）A．22xAxBxCe；B．222xAxBxCDxe；C．222xxAxBeCxe；D．222()xAxBxCxe5．函数(,)zfxy在点00(,)xy处连续是它在该点偏导数存在的（）A．必要而非充分条件；B．充分而非必要条件；C．充分必要条件；D．既非充分又非必要条件。三、解答题（每题7分，共56分）1．计算二重积分Dxydxdy，其中D是1,,0,12xyxyyy所围成的区域。2．计算曲线积分22()2Lxydxxydy，式中L由极坐标方程2sinr所表示的曲线上从0到2的一段。3．求微分方程12'3yyxxx的通解。4．求微分方程23xyyye的通解。5．求曲线在t=1处的切线及法平面方程。6．求函数在（1，1）点沿{4,3}r方向的方向导数。7．判断下列级数的敛散性（1）（2）8．设10()2,fudu求1120()ydyfxdx四、证明题（满分7分）已知光滑曲面∑围成的Ω的体积为V，求证：曲面积分()()()zydxdyyxdzdxxzdydzÒ为定值。五、应用题（满分7分）求旋转抛物面22zxy与平面1xyz之间的最短距离。理工类《高等数学A（2）》课程考试模拟试卷A卷参考答案一、填空题（每题3分，共15分）2,1,1tzttyttx22yxunnnsin1122271513111、设区域222:1xyz确定，则2xydxdydz０。2、设yuxyx，则yu1xx。3、幂级数11nnxn的收敛半径R1。4、微分方程20yyy的通解是212xxcece。5、函数2246812zxxyyxy的驻点是(1,-2)。二、选择题（每小题3分，共15分）1、C，2、C，3、C，4、B，5、D三、解答题（共56分）1．计算二重积分Dxydxdy，其中D是1,,0,12xyxyyy所围成的区域。解：1023211024112321dyyyyxydxdyyy(3分)(5分)(7分)2．计算曲线积分22()2Lxydxxydy，式中L由极坐标方程2sinr所表示的曲线上从0到2的一段。解：，积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)（4分）原积分＝（7分）3．求微分方程12'3yyxxx的通解。解：112((3))dxdxxxyexedxcx（4分）21((32))yxxdxcx（6分）yyPxQ238010022dydxx213232cyxxx（7分）4．求微分方程23xyyye的通解。解：特征方程：（2分）原方程有形如xCe的特解，代入原方程可得，（4分）4xey（6分）原方程的通解为：3124xxxeycece（7分）5．求曲线在t=1处的切线及法平面方程。解：切线方程：（4分）法平面方程11()(1)2(1)042xyz。（7分）6．求函数在（1，1）点沿{4,3}r方向的方向导数。5143,4512,2)1,1(lu解：（7分）7．判断下列级数的敛散性（1）（2）解：（1）因为当n趋于∞时，一般项un的极限为1，其极限不为0，故级数发散。（3分）（2）原级数=所以原级数绝对收敛。（4分）8、设10()2,fudu求1120()ydyfxdx2,1,1tzttyttx22yxunnnsin1122271513113,1032212rrrr21124121zyx41/1)12(1lim)12(1)1(22nnnnn解：11122000()()xydyfxdxfxdxdy（4分）11222001()()2xfxdxfxdx=1（7分）四、证明（满分7分）证：,,PxzQyxRzy，1PQRxyz(3分)由高斯公式求得()()()zydxdyyxdzdxxzdydzÒ=3V(7分)五、应用题（满分7分）求旋转抛物面22zxy与平面1xyz之间的最短距离。解：设,xy为22zxy上任意一点，则其倒1xyz的距离2221111xyzd，（1分）为求导方便，问题等价转化为求函数2,,1hxyzxyz在条件22zxy下的最大值，作222,1Lxyxyzxyz，（2分）则由221221201212022101021xyzxLxyzxLxyzyyLxyzzxyz，（2分）111,,222为惟一可能极值点，由问题的实际定义知所求最短距离为1132633xyzd。（2分）模拟试卷B1、微分方程0xdyydx的通解是；2、同时垂直于向量{2,3,1}a和{1,2,0}b的单位向量是；3、设yzx，则22zy=；4、设I=210(,)xxdxfxydy交换积分次序后I=；5、级数214(1)nnn的敛散性是。（填收敛、条件收敛、绝对收敛、发散）二、选择题（每小题3分，共15分）1、方程22()xydxdyydxxdy是（）A)可分离变量方程B)一阶线性方程C)一阶齐次方程D)全微分方程2、设ln()2yzxx，则(1,0)zx=（）A)1B)-1C)2D)03、曲面222zxy在点（1，1，3）处的法线方程是（）A)113241xyzB)113241xyzC)113243xyzD)113171xyz4、积分区域D:2214xy,则2Ddxdy=（）A)30B)15C)6D)35、若级数1nna收敛，nS为其前n项的和，则有（）A)nS1nnaB)lim0nnSC)1nna=limnnSD)limnnS三、解答题（共63分）1、求微分方程23yyyx的通解（8分）2、设2vzue，其中,uxyvxy，求,zzxy（8分）3、计算：,Dxydxdy其中D由直线1yx和抛物线226yx所围闭区域（9分）4、计算zdxdydz其中为三个坐标面及平面1xyz所围的闭区域（9分）5、计算：(cos2)(sin2)xxLeyydxeydy其中L为上半圆周28yxx沿逆时针方向（9分）6、将函数23()2fxxx展开成x的幂级数（写出通项和收敛域）（10分）7、求幂级数11nnnx的收敛域，并求其和函数（10分）四、证明题（满分7分）证明不等式222sindcosd22CyxxxyyÑ，其中C是圆周220xyxy，取逆时针方向。理工类《高等数学A（2）》课程考试模拟试卷B参考答案2011－2012学年第二学期物理、计算机、通信、信工、电信、光电、电子、机电、电实、自动化专业2011级各班时量：120分钟总分：100分，考试形式：闭卷一、填空题（每题3分，共15分）1、微分方程0xdyydx的通解是(lnln)yCxyxC；2、同时垂直于向量{2,3,1}a和{1,2,0}b的单位向量是62,1,16；3、设yzx，则22zy=2(ln)yxx；4、设I=210(,)xxdxfxydy交换积分次序后I=10(,)yydyfxydy；5、级数214(1)nnn的敛散性是绝对收敛。二、选择题（每小题3分，共15分）1、方程22()xydxdyydxxdy是（C）A)可分离变量方程B)一阶线性方程C)一阶齐次方程D)全微分方程2、设ln()2yzxx，则(1,0)zx=（A）A)1B)-1C)2D)03、曲面222zxy在点（1，1，3）处的法线方程是（B）A)113241xyzB)113241xyzC)113243xyzD)113171xyz4、积分区域D:2214xy,则2Ddxdy=（C）A)30B)15C)6D)35、若级数1nna收敛，nS为其前n项的和，则有（C）A)nS1nnaB)lim0nnSC)1nna=limnnSD)limnnS三、解答题（共70分）1、求微分方程23yyyx的通解（8分）解：对应的齐次方程的特征方程为：21212101,2rrrr（1分）对应的齐次方程的的通解为21212(,)xxYCeceCCR（2分）设23yyyx的特解为**,*0yAxByAy（1分）代入方程得：3,3AB（1分）*33yx（1分）微分方程23yyyx的通解为2121233(,)xxyCecexCCR（2分）2、设2vzue，其中,uxyvxy，求,zzxy（8分）解：22(1)2(2)2()()(1)vvxyxyzzuzvueueyxyeyxyexuxvx由函数的对称性得：22()()4xyxyzxyexxyey分3、计算：,Dxydxdy其中D由直线1yx和抛物线226yx所围闭区域（9分）解：2126yxyx得交点（-1，-2），（5，4）（1分）26:1,242yDxyy（1分）241622yyDxydxdyydyxdx（3分）453221(24)8yyyydy（2分）=36（1分）4、计算zdxdydz其中为三个坐标面及平面1xyz所围的闭区域（9分）解：:01,01,01xyxzxy（1分）111000xxyzdxdydzdxdyzdz（3分）112001(1)2xdxxydy（2分）1301(1)2xdx（2分）124（1分）5、计算：(cos2)(sin2)xxLeyydxeydy其中L为上半圆周28yxx沿逆时针方向（9分）解：补线：OAuur»»»OAOAOAOALLOAOAOAuuuruuuruuur蜒（1分）880()1xOAedxeuuur（2