搜索
1高中数学高考总复习专题十七算术平均数与几何平均数一、知识网络二、高考考点1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范围；3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。三、知识要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。1、关于不等式的“基本性质”（1）对称性：abba（2）传递性：ab,bcac（3）“数加“法则：aba+cb+c推论：a+bcac-b（移项法则）（4）“数乘”法则：ab,c0acbc;ab,c0acbc2、关于不等式“两边运算”的性质（1）同向不等式两边“相加”：ab,cda+cb+d;2（2）同向的正数不等式两边“相乘”：ab0，cd0acbd；（3）正数不等式两边“乘方”：ab0anbn0(nN*);（4）正数不等式两边“开方”认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）（二）基本定理及其推论定理1：如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b时等号成立）定理2：如果a,bR+，那么（当且仅当a=b时等号成立）推论1（和的平方不等式）：若a,bR+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值（当且仅当x=y时取得）；（2）当和x+y为定值S时，积有最大值（当且仅当x=y时取得）；四、经典例题例1（1）若x,yR+且的最大值.（2）若x,y∈R且xy0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值.分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等（1）欲求积的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2：（2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将3u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。解：（1）注意到这里x0，u0，∴=（当且仅当）时等号成立）。（2）由已知得=3(当且仅当时成立)∴umin=3（当且仅当x=1且y=2时取得）点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式；遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。例2（1）若x,y,a,bR+，a≠b，且，求u＝x+y的最小值；（2）若0x1，a，b为常数，且ab0，求的最小值.分析：4对于（1）如何利用,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”；对于（2），注意到这里0x1，并且两个分母之和为1：x+(1-x)=1,在(1)的基础上易于寻出解题思路。解：（1）解法一（利用“1的替换”）：∵x,y,a,bR+∴解法二（运用“三角替换”）：注意到令则有x=asec2θ，y=bcsc2θ∴u=asec2θ+bcsc2θ=(atan2θ+bcot2θ)+(a+b)(当且仅当atan2θ＝bcot2θ时等号成立)(2)注意到这里0x1，且x+(1-x)=1，∴令x=cos2θ,则1-x=sin2θ()5(当且仅当时等号成立）∴ymin=(a+b)2(当且仅当时取得)点评:对于(1),是明显的;对于(2),x+(1-x)=1是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题,也要注意认知并利用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。例3（1）设a,b,c是RtΔABC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围；（2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。分析：在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二：(i)由已知条件与重要不等式导出关于的不等式，而后由这一不等式解出的取值范围；（ii）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外结合推导的取值范围。解：（1）由已知得c2=a2+b2(利用三角形的特殊性)①4-c=a+b（以c为主元整理或变形）②注意到a,bR+且满足2（a2+b2）≥(a+b)2③∴将①，②代入③得2c2≥(4-c)2④再注意到这里a+bc(利用三角形的普通性质)a+b+c2c又a+b+c=4∴c2⑤于是由④、⑤得∴所求C的取值范围为（2）由已知得b2=ac①1-b=a+c②(以b为主元整理或变形)为利用重要不等式而讨论：由题设知a、c同号（i）当a,c同为正数时，(当且仅当a=c时等号成立)∴由①得a+c≥2|b|6∴再由②得1-b≥2|b|2|b|+b≤1③∴若b0，则由③得；若b0，则由③得-1≤b0∴由③解得-1≤b0或(ii)当a,c同为负数时，④∴由②、④得1-b≤-2|b|2|b|-b≤-1无解于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为[-1，0）∪（0，]点评：（1）、（2）解题的共同之处，是立足于已知的等式，借助算术平均数与几何平均数大小的不等式导出有关变量β的取值范围，这也展示了这一类问题的基本解法。例4．（1）已知abc，不等式恒成立，求k的最大值（2）已知x,yR+,且不等式恒成立，求a的最小值分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。解：（1）∵abc∴原不等式恒成立恒成立①令则①k≤u的最小值②又(分子主动与分母沟通联系)7≥4（当且仅当时等号成立）∴umin=4(当且仅当a+c=2b时取得)③于是由②、③得k≤4，即k的最大值为4（2）不等式恒成立恒成立恒成立(为便于利用重要不等式而变形)恒成立(化生为熟转化成功)④令则④a≥u的最大值⑤∵x，y∈R+(当且仅当x=y时等号成立)(当且仅当x=y时等号成立)(当且仅当x=y时取得)⑥于是由⑤、⑥得，即a的最小值为例5．已知a,bR+，且a+b=1，求证：（1）（2）8（3）（4）（5）（6）分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面（i）直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入；（ii）换元转化：令a=cos2α,（iii）借助“外因”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。联想1：由已知等式本身联想重要不等式：a,bR+，且（1）由左边a+b联想重要不等式∴（当且仅当a=b时等号成立）（当且仅当a=b时等号成立）（当且仅当a=b时等号成立）（2）（当且仅当a=b时等号成立）联想2：由已知等式的等价变形联想重要不等式9∴（当且仅当a=b时等号成立）（当且仅当a=b时等号成立）∴这与联想1中推出的结果殊途同归.对已知条件作以上挖掘延伸之后,再证明所给例题便是水到渠成。证明：（1）证法一(分析转化、化生为熟)：原不等式又∴不等式（*）成立，∴原不等式成立。证法二：（化整为零，化隐为明）；注意到当且仅当时等号成立同理(当且仅当时等号成立)10(当且仅当时等号成立)(2)利用前面的推论，左边(3)略(4)利用前面的结论,左边(当且仅当时等号成立)(5)利用前面的推论得为了构造同向不等式,对左边配方:左边(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(6)解法一:(为了构造“同向不等式”)硬性提取后再作变形):11左边(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)∴左边(当且仅当时等号成立)解法二:仿(5)之解法,留给同学们练习点评（1)的证明告诉我们,对于感觉生疏的不等式的证明,要注意通过等价变形来认知它的本来面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中,已知条件延伸的主要方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。例6、（1）已知x,yR+，且x+y=1，试求(i)的最小值；（ii）的最小值。（2）已知a,bR+，且a3+b3=2，求证：（i）ab≤1;(ii)a+b≤2分析：对于（1）本质上是例5（5）（6）的改作题；对于（2），仍可仿照例5中已知条件的延伸手法来寻觅解题思路解：（1）从略(2)证明：注意到已知条件a3+b3=212(a+b)(a2+b2-ab)=2①(i)由①式左边联想重要不等式②a2+b2≥2ab③∴由③得a2+b2-ab≥ab0④∴由②④得(当且仅当a=b=1时等号成立)⑤∴由①、⑤得（当且仅当a=b=1时等号成立）（ii）由①式左边联想重要不等式⑥⑦∴由①、⑥、⑦得(当且仅当a=b=1时等号成立)（a+b）3≤8a+b≤2(当且仅当a=b时等号成立)命题得证点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于（2），也可以根据已知条件a3+b3=2“实施等量替换”，只是效果不一定理想，事实上，设则；（i）得证；而a+b≤2则难以证明,同学们不妨一试.五、高考真题1、（2004辽宁卷）对于0a1,给出下列四个不等式：（1）13（2）（3）（4）其中成立的是（）A.1与（3）B.（1）与（4）C.（2）与（3）D.（2）与（4）分析：从0a1入手去比较1+a与的大小∵0a1又当0a1时，y=logax为减函数当0a1时，y=ax为减函数，于是由（*）、（**）知本题应选D2、（2004全国卷II）：已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为（）A.分析：为建立“已知”与“目标”的联系，考察已知三式的和：①∴将①与已知各式联立，解得即注意到欲求ab+bc+ca的最小值，∴只需a、b同号且c与它们反号∴ab+bc+ac的最小值为14∴应选B3、（2005湖南卷）集合B={x||x-b|a}，若“a=1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围可以是（）A.-2≤b0B.0b≤2C.-3b-1D.-1≤b2分析：从认知与化简集合A、B切入A=（-1，1），B=（b-a,b+a）当a=1时，B=（b-1,b+1）此时，令b=0则B=（-1，1），显然A∩B≠，符合要求，由此否定A，B；令b=-1，则B=（-2，0）此时，A∩B=（-1，1）∩（-2，0）=（-1，0）≠，符合要求，否定C.于是可知应选D.4、（2005，天津卷）给出下列三个命题（1）若a≥b-1,则（2）若正整数m和n满足m≤n，则（3）设P(x1,y1)为圆01；x2+y2=9上任一点，圆O2以Q（a,b）为圆心且半径为1，当（a-x1）2+(b-y1)2=1时，圆01与圆O2相切。其中假命题的个数为（）A．0B.1C.2D.3分析：逐一考察每个命题：对于（1）作辅助函数在（-1，∞）上为增函数.∵a≥b-1,∴f(a)≥f(b),即，∴（1）为真命题；对于（2），由已知得m0，n-m≥0,由平均值不等式得（2）也是真命题；对于（3），注意到圆O2的方程为（x-a）2+(y-b)2=1，故由题设知点P亦在圆O2上，即点P为圆O1与圆O2的公共15点圆01与圆O2相切，从而（3）为假命题于是由上述分析可知，本题应为B。