数学专题函数的值域最值(家教版)

函数的值域最值知识归纳一、相关概念1、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合}/)({Axxf称为函数的值域。2、最值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作max0yfx最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作min0yfx注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。若函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了，因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二、确定函数值域的原则1、当函数)(xfy用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；x0123()yfx1234则值域为{1，2，3，4}2、函数)(xfy的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；3、函数)(xfy用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三、基本函数的值域1、一次函数）（0abkxy的定义域为R，值域为R；2、二次函数）（02acbxaxy的定义域为R，]44(0);44[022abac，，a，abac，a值域是时值域是时3、反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，的值域为Ryyy且,0|4、指数函数)10(aaayx且的值域为),0(。5、对数函数)10(logaaxya且的值域为R；6、分式函数cxbaxy的值域为Ryayy且,|。7、正弦函数xysin,余弦函数xycos的值域都是]1,1[。8、正切函数),2(tanZkkxxy其中,cotxy),(Zkkx的值域为R。四、求函数值域的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域求函数值域的常用方法：观察法、直接法、配方法、分离变量法、单调性法、导数法数形结合法（图像法）导数法数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域无论用什么方法求最值，都要检查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此。常用方法：（1）观察法(用非负数的性质，如：20x；0x；0(0)xx等)例如：求下列函数的值域：232yx;{|2}yy变式：421(1),{|4}yxxyy（2）直接法：利用常见函数的值域来求，例如：下列函数中值域是（0，+）的是（）A．12yxB.11()5xyC.21yxD.1(0)yxxx解析：通过基本函数的值域可知：A的值域为[0,+）,C的值域为[0,1],D的值域为[2,+).答案：B（3）配方法：常可转化为二次函数型cxbfxaxFf)()()(2，配成完全平方式，根据变量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值域：21,yxxxR；[1,3];(1,5];[5,1];xxx解析：通过配方可得213()24yx；开口向上，所以当12x时，函数取最小值34y；当x3,1时，在12x时，函数的最小值为34y；最大值在x=3时取到，(3)13f；故其值域为[34,13];练习：(1,5];[5,1];xx例：求函数)4,0(422xxxy的值域。解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:)0)((4)(2xfxxxf配方得:)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf,从而得出：2,2y。说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：0)(xf。变式1：求函数y=34252xx的值域.（答：（0,5]）变式2：当]2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是___（答：21a）；变式3：（1）求223,[2,4]yxaxx最值。（-----动轴定区间）（2）求223,[,2]yxxxtt的最值（----------定轴动区间）变式4：已知sinx＋siny＝13，则函数μ＝sinx－cos2y的最大值为________；最小值为_________。答案：411[,]912。解析：2221112sinsin(sin),sin[,1]32123uyyyy（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例、求函数xxy41332的值域。解：由于题中含有x413不便于计算，但如果令：xt413注意0t从而得：)0(321341322tttytx变形得)0(8)1(22tty即：]4,(y点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。变式1：求函数xxy142的值域.4,解析：令1tx（t0），则21xt，故222(1)4,y2t4t2ytt经整理得；用配方法求的y的值域为4,。变式2：22sin3cos1yxx的值域为_____（答：17[4,]8）；变式3：249yxx的值域为____（答：[1,324]）；变式4：函数21xxy的值域为____（答：[2，1]）(提示：三角代换)变式5：求函数)42(5loglog241241xxxy的值域（答：[254,8]）(提示：令t=14logx，1t[1,]2)。变式6：已知),(yxp是圆422yx上的点，试求xyyxt322的值域。解：在三角函数章节中我们学过：1cossin22注意到422yx可变形为：1)2()2(22yx令)2,0[,sin2,cos2yx则2sin64sin2cos234t4,0[2又)即]1,1[2sin故]10,2[t例：试求函数xxxxycossincossin的值域。解：题中出现xxsincos而xxxxxxcossin21)cos(sin,1cossin222由此联想到将xxsincos视为一整体，令]2,2[cossinxxt由上面的关系式易得21cossincossin2122txxxxt故原函数可变形为：]2,2[1)1(21,2)1(2])2,2[(21222ttytyttty即]221,1[y（5）分离常数法（分式转化法）；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成)(xfky(为k常数)的形式来求值域．例：求函数122xxxxy的值域。解:观察分子、分母中均含有xx2项,可利用部分分式法；则有43)21(11111122222xxxxxxxxxy不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf注意：在本题中若出现应排除0)(xf,因为)(xf作为分母.所3()(0,]4gx故1[,1)3y另解：观察知道本题中分子较为简单,可令xxxxxxy222'111,求出'y的值域,进而可得到y的值域。B（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy例：求函数12xxy的值域。解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2即xxy2反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：),2()2,(y。变式1：函数y=2211xx的值域是（）A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y=2211xx=212x－1.∵1+x2≥1，∴0＜212x≤2.∴－1＜y≤1.解法二：由y=2211xx，得x2=yy11.∵x2≥0，∴yy11≥0，解得－1＜y≤1.解法三：令x=tanθ（－2π＜θ＜2π），则y=22tan1tan1=cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.答案：B变式2:求函数3025xyxx的值域变式3:求函数10101010xxxxy，及122xxy的值域（7）利用判别式法针对分式型2222(0abxcammnxpxyx其中），尤其是分母中含有x2时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.例：求函数3274222xxxxy的值域。解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：7423222xxyxyyx整理得：073)2(2)2(2yxyxy当2y时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足032)(2xxxf即Rx此时方程有实根即△0,△].2,29[0)73)(2(4)]2(22yyyy细心的读者不难发现，在前面限定2y而结果却出现：2y我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是29,2yy）代回方程检验。将29,2yy分别代入检验得2y不符合方程，所以)2,29[y。变式：22122xyxx的值域。1,1,2②22221xxyxx；[1,5]③221223xxyxx注意：1.一般用在定义域为R的情况下，如果定义域不是R，也可用，但需对最后的结果进行检验、既对y取得等号值的时候对应的x值是否在定义域范围内。2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论3.若对自变量有其他限制，就不好用判别式法了4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法，要先化简。如求函数2221xxyx的值域。原函数可化为y)1)(1()1)(2(xxxx=)1()2(xx(1x),即y1+11x(1x),11x0,（8）三角有界法：运用三角函数有界性来求值域；转化为只含正弦、余弦的函数，如sin1sinxyx，可用y表示出sinx，再根据1sin1x解不等式求出y的取值范围.例：求函数2sin11siny，2sin11cosy的值域（答：1(,]2、3(,]2）；求函数2cos13cos2xyx的值域。1,3,5