数学中的一般化与特殊化例谈

1数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏无锡214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。关键词:一般化特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。一、平起平坐互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1设ai＞0(i=1,2,…,n)，则12naaan≥12nnaaa,当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。命题2设ai＞0(i=1,2,…,n)，且a1a2…an=1，则a1+a2+…+an≥n，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。分析：(1)命题2是命题1的特殊情况,由命题1当然能推出命题2。(2)考察下列n个正数：112nnaaaa，212nnaaaa，…，12nnnaaaa，由于它们的积为1，故112nnaaaa+212nnaaaa+…+12nnnaaaa≥n，即12naaan≥12nnaaa。∴由命题2能推出命题1。由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。这项发现并非只有理论上的价值。事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，2我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。解：由条件等式的对称性，不妨设a≤b≤c≤d≤e。由题设，有abcdeabcde=1=1bcde+1acde+1abde+1abce+1abcd≤1de+1de+1de+1e+1d=3dede。即de≤3+d+e，(d－1)(e－1)≤4。下面分两种情形讨论：(1)若d=1，则由排序假设有a=b=c=d=1，从而4+e=e，这是不可能的。(2)若d＞1，则e－1≤4，即e≤5。而当e=5时，容易找到满足条件的一组解a=b=c=1，d=2，e=5，即e=5是可能的。即e的最大值为5。二、高屋建瓴势如破竹当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是一般化策略。这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般，更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。用一般化策略解决数学问题的思维过程为：特殊命题一般化命题特殊命题的解一般化命题的解一般化策略能否奏效，关键在于一般化命题是否比需解的特殊命题易于求解。例3证明：11+12+13+…+11000＞1000。分析：将上述命题一般化，即证明11+12+13+…+1n＞n(n＞1)。这是有关自然数的命题，可考虑用数学归纳法证明。特殊化一般化3证明：(1)当n=2时，1+12=2×212＞2，命题成立。(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时，命题成立，即11+12+13+…+1k＞k。于是有11+12+13+…+1k+11k＞k+11k=1k×(1)11kkk＞1k。即当n=k+1时命题也成立。由(1)、(2)可知一般化命题成立。现取n=1000，即证得原不等式。由此可见，有时一般化命题比特殊命题易解，主要是因为一般化命题中包含了一批特殊命题，并且把这些特殊命题有机地结合起来，这比孤立地看一个特殊命题较易看清规律以及它们之间的属性的差异方程、不等式与函数相比较，前者是特殊形式，后者是一般形式。方程、不等式的解可理解为对应函数处在某特定状态时的自变量的值，其个数、大小、范围都与函数性质有密切的联系。因此，当我们研究方程或不等式时，可用一般化策略，把他们置身于函数之中，使我们能在更一般，更广阔的领域，在变化之中寻求化归的途径。特别是当方程或不等式的解受到较为复杂的条件制约时，置方程或不等式于函数之中，还可帮助我们克服由于考虑不周而带来的失误。例4已知a、b是实数，且e＜a＜b,其中e是自然对数的底数。证明：ab＞ba分析：要证ab＞ba，只须证blna＞alnb,即aaln＞bbln。考虑函数f(x)=xxln，x∈(e,+∞)∵f(x)=2ln1xx＜0，∴函数f(x)在(e,+∞)上是单调递减函数。又a＜b，∴f(a)＞f(b)，即aaln＞bbln从而命题得证。上题用一个变数x代替了给定的常数(虽然它们是常变数—任意的常数，但习惯上人们还是静态地来看待它们)，从而把考虑个别的函数值的问题转化为考虑整个函数的情况(由静到动、联系起来看问题)。这样就便于用导数的工具来研究函数的单调性，从而得以判断不等式的正确性。一般化策略是解决问题的有效方法，也是科学探索的常用方法。实施一般化策略通常有以下三个步骤：4（1）要从不同的侧面分析题目的特征，找出能使题目一般化的有关因素；（2）从不同的因素入手，通过抽象、概括或猜想，常常可以得到多种一般性问题，要力求从中找出最接近于特殊问题本质，又为自已所熟悉、易于解答的一般性问题；（3）在返回原题的过程中，要注意一般性问题与特殊问题之间的差别，针对这种差别，采取不同的方法或技巧，以便顺利地过渡到原题的解答上。三、击中一点牵动全局从特殊到一般是人类认识客观事物的一种规律。对于一个一般性的问题,先研究它的某些特殊情形,从而获得解决问题的途径,使问题得以“突破”，这种解决问题的策略称为特殊化策略。共性孕育在个性之中。人们总是首先认识了许多不同事物的特殊本质，然后才有可能更进一步地作概括，认识诸种事物的共同本质。特殊化策略，正是特殊与一般的辨证关系在解题中的灵活运用，它生动地体现了认识过程中以退为进的思想方法。“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。”(希尔伯特语)。对个别特殊情况的讨论，常能凸现问题的关键，揭示问题的本质。用特殊化策略解决问题的思维过程，可用框图表示如下：有一些数学问题，求解特殊化问题的关键性步骤，就是求解一般化问题的关键性步骤。因此，我们要注意从相应的特殊化问题求解中寻求有益启示，发现一般化问题的解题关键。例5试证明一个周长为2l的封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住。分析：直接着手证明一时看不到头绪，我们不妨先从特殊的情形入手。比如，分析周长为2l的平行四边形的情形。设ABCD是周长为2l的平行四边形(如图1)，由于OD=12BD≤12(BC+CD)=2l。同理：OC≤2l。图1图2ABCDOPAPOC5显然，这个平行四边形能被以O点为圆心，直径为l的圆盖住。对于周长为2l的任意形状的封闭曲线（如图2），设A，C两点恰好把这封闭曲线平分为长为l的两段，O是线段AC的中点，P是该曲线上任意一点，连接PO，PA，PC，则有PO≤21(AP+CP)≤21(曲线AP的长+曲线CP的长)=21曲线AC的长=21l所以P在一个以O为圆心，直径是l的圆内。因为P是该曲线上的任一点，所以该封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住。例6已知：1a+1b+1c=1abc，abc≠0，求证：211na+211nb+211nc=211()nabc。分析：解决本题的关键在于利用已知条件，而其中a、b、c是抽象的字母，为此，不妨用具体的数字来替代。令a=1，b=2，则11+12+1c=112c，得c=－1或－2。令a=3,b=4，则可得c=―3或―4。由此产生猜想：满足已知条件1a+1b+1c=1abc(abc≠0)的a、b、c中，至少有两个互为相反数。同时，上述试验还给我们提供了证实猜想的方法，即：把a、b看做已知数，解关于c的方程1a+1b+1c=1abc，可得c=―a或―b。此时不仅猜想被证实，整个题目也因猜想的证实而迎刃而解。将一般问题特殊化，通常并不难，只须针对所研究的对象添加某些限制或适当加强某些条件即可。但是，一个一般问题经过不同的特殊化处理可以得到若干个不同的特殊问题，需要指出的是：将一般问题特殊化，求解能否奏效的关键是能否找到一个在解题中起主导作用的特殊问题。比较理想的特殊问题，既要求它本身容易解决，又能由它的解法发现一般问题的解法。四、协同运用出奇制胜对于有些数学问题，特殊化与一般化这两种解题策略必须协同运用，才能顺利解决。例7能否将n个正方形剪拼成一个大的正方形？分析：这里要解决的是个数为n的一般性问题，结论尚属未知。先考察一个最简单的特殊情形——将两个边长相等的正方形S1与S2剪拼成一个正方形S12，可按图3所示的方法剪拼而成。这种特殊情况是将一般情况经两次特殊化（正方形个数特殊化、边长特殊化）而得到的。在这种特殊情况下剪拼方法一目了然。为了将其推向一般，我们也分两步走。6第一步，考虑两个大小不同的正方形的情况。第二步，考虑n个任意正方形的情况。为将上述剪拼法推向两个大小不同的正方形，我们来对它作一定量的分析。要剪拼出新正方形s12，只需计算出其边长以及确定裁剪的路线。由图3，S12的一边x与S1的一边a和S2的一边a恰好组成一个直角三角形，x为斜边，a，a为两直角边。据此我们猜想：对两个边长分别为a，b的正方形S1,S2来说，比照上述做法，以a，b为两直角边作直角三角形，再以其斜边为边长和裁剪路线，也能剪拼出一个新的正方形S12来。实际验证说明上述猜想是正确的(如图4)。图3图4如果给定三个正方形S1，S2，S3,那么我们可用上述方法先将S1，S2剪拼成一个正方形S12，再将S12与S3剪拼成一个正方形S123。由归纳法我们得出关于一般性问题的猜想：任意n个正方形都可以剪拼成一个正方形。由类比法我们还可得出关于证法的猜想：设给定n个正方形S1，S2，…，Sn，先将S1与S2按上述方法剪拼成一个正方形S12；再将S12与S3剪拼成一个正方形S123；…，最后将S12…(n-1)与Sn剪拼成一个正方形S12…n。我们发现，上述做法有递推关系，故我们不必一个一个地去验证，可使用数学归纳法，做一次验证就可以了。证明：（数学归纳法）当n=2时，按图4所示的方法，可将任意两个给定的正方形剪拼成一个正方形。假设k(k≥2)个正方形能剪拼成一个正形，那么，对给定的k+1个正方形，我们可先将前k个剪拼成一个正方形S12…k，再将S12…k与1ks剪拼成一个正方形12(1)kks。∴能将n个正方形剪拼成一个大的正方形。上述过程可用框图简示如下：这也是一般化与特殊化协同解决数学问题的一般模式。一般问题特殊问题及其解法关于一般问题的猜想特殊化一般化(类比、归纳)(归结为)特殊化S1aS2axS12S1aS12S2b1221337参考文献：[1]何华兴主编.数学思想方法[M].上海：百家出版社，2001.[2]顾泠沅主编.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.[3]殷堰工.数学解题策略精编[M].北京：上海科技教育出版社，1994.