数学中考中阴影部分面积的计算

1阴影面积的中考试题近年来的中考有关阴影面积的题目不断翻新，精彩纷呈．这类问题往往与变换、函数、相似等知识结合，涉及到转化、整体等数学思想方法，具有很强的综合性，本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考．一、阴影部分是整体的图形1、直接将阴影部分的面积看成几个规则图形面积的和（差）例1（2009年四川凉山州）如图l，将ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'使点A、B、C'在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为_______cm2．例2（2010年浙江杭州，有改动）如图2，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则由DG，GE和ED围成的图形面积（图中阴影部分）为__________．分析如图2，连结OD、OE，易知四边形ODCE为正方形，且边长为3．由OD=OF，得例3(2010年湖北十堰)如图3(1)，(n＋1)个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3面积为S2，…，四边形PnMnNnNn＋1面积为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn＝_______．22、利用平移、轴对称、旋转变换化难为易(1)平移变换例4(2009年浙江嘉兴，有改动)如图4－1，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若弦AB的长为6，则阴影部分的面积为_______．分析将⊙P沿着PO方向平移直至两圆心重合，从而将阴影部分的面积转化为圆环的面积(如图4－2)．由垂径定理，得3(2)轴对称变换例5(2010年浙江台州)如图5，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则阴影部分面积为(结果保留π)_______．分析连结AC，则AC过点E．由对称性可知AB、AE和BE围成的图形面积与阴影部分的面积相同．例6(2010年安徽芜湖)芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计，如图6(1)，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE．并与正方形的对角线交于F、G两点，制成如图6(2)的图标．则图标中阴影部分图形AFECD的面积＝_______．分析过点F作FH⊥AB于点H(如图6(1))，易知△AHF为等腰直角三角形，∠ABF＝30°．设FH＝x，则AH＝x，BH＝3x．4(3)旋转变换例7(2009年山东潍坊)如图7，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm．BC＝6cm，分别以点A、C为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为()cm2．(A)252424(B)254(C)5244(D)25246分析易求∠A＋∠C＝90°，AC＝22ABBC＝10．将⊙A中的扇形绕AC的中点顺时针旋转180°后，则可拼成14圆，于是，故选A．3、估计阴影部分的面积例8(2009年甘肃庆阳)图8中一段抛物线ACB是二次函数y＝－12x2＋2的图象在x轴上方的一部分，若这段图象与x轴所围成的图形面积为S，试求出S取值的一个范围．分析如图8，这段图象与x轴的交点为A(－2，0)、B(2，0)，与y轴的交点为C(0，2)．设P(x，y)在图示抛物线上，则OP2＝x2＋y2＝(4－2y)＋y2＝(y－1)2＋3．由0≤y≤2，得3≤OP2≤4．这段图象在图示半径为3、2的两个半圆所夹的圆环内，所以S在图示两个半圆面积之间，即故32S2π．二、阴影部分是分散的图形1、利用平移、轴对称、旋转变换化分散为整体(1)平移变换例9(2010年河北省)把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图9(1)摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图9(2)摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1_______S2(填“”、“”或“＝”)．5分析将图9(1)中正方形卡片C向左平移至盒底的左上角(如图9(3))，将9(2)中正方形卡片B向下平移至盒底的右下角(如图9(4))，可见S1＝S2．(2)轴对称变换例10(2010年山东临沂)正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图10所示，则图中阴影部分的面积之和等于_______．分析因为正方形ABCD是轴对称图形，所以将△BCD内的阴影部分沿着直线BD翻折180°后会与△ABD内的空白部分重合在一起，故拼成了△ABD，其面积为正方形ABCD面积的一半，即阴影部分的面积之和等于12a2．例11(2009年湖南娄底)如图11，⊙O的半径为2，C1是函数y＝12x2的图象，C2是函数y＝－12x2的图象，则阴影部分的面积是_______．分析因为⊙O关于x轴对称，抛物线y＝12x2与抛物线y＝－12x2亦关于x轴对称，所以将位于x轴下方半圆内的阴影部分沿着x轴翻折180°后会与位于x轴上方半圆内的空白部分重合在一起，故拼成了半圆，其面积为⊙O面积的一半，即阴影部分的面积是2π．(3)旋转变换例12(2009年广西桂林、百色)如图12，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为()(A)3(B)6(C)12(D)24分析因为□ABCD是中心对称图形，所以所以将△ABC内的阴影部分绕着对角线的交点旋转180°后会与△CDA内的空白部分重合在一起，故拼成了△CDA，其面积为□ABCD面积的一半，即阴影部分的面积之和等于12，故选C．例13(2009年四川绵阳)如图13，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O1过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是()．6(A)2736a(B)2536a(C)2736a(D)2536a分析连结PD，AE(如图13)，易知△CPD和△ABE均为等腰直角三角形，所以将⊙O2内的阴影部分绕着圆心O2顺时针旋转90°与弓形DP重合在一起，将⊙O1内的阴影部分绕着圆心O1逆时针旋转90°与弓形EA重合在一起，拼成了四边形AEDP．连结O1O2，设⊙O2的半径为x，则故选D．(4)组合变换例14(2010年四川巴中)如图14所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为_______．分析由于无法知道每个扇形的圆心角，若逐一计算，显然将无法求解．图中六个小扇形的半径相同，而且六边形的内角和为720°，运用整体思想，把六个小扇形组合在一起，拼成两个整圆，所以图中阴影部分的面积为2π．例15(2010年云南昆明)如图15，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是()分析可看成在△ABC上覆盖以AB为直径半圆和以AC为直径半圆，因为ABC内的阴影部分被半圆覆盖两次，所以，故选D．2、利用等积变换逐个求解阴影每一部分的面积例17(2008年浙江温州)如图16，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，7B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为_______．即图中三个阴影三角形面积之和为10.5．3、估计阴影部分的面积例18(2008年浙江杭州)如图17，记抛物线y＝－x2＋1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份．设分点分别为P1，P2，…，Pn－1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn－1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1＝2312nn，S2＝2342nn…；记Ｗ＝S1＋S2＋…＋Sn－1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是()(A)23(B)12(C)13(D)14分析如图17，抛物线y＝－x2＋1的图象与x正半轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为8(0，1)．设抛物线与y轴及x正半轴所围成的面积为S，M(x，y)在图示抛物线上，则8222OMxy21yy＝21324y．由0≤y≤1，得34≤OM2≤1．这段图象在图示半径为32、1的两个14圆所夹的圆环内，所以S在图示两个圆14面积之间，即从而316＜S＜14π．显然，当n的值越大时，W的值就越来越接近抛物线与y轴和x正半轴所围成的面积的一半，所以332＜W＜18π．与其最接近的值是，故本题应选C．