数学内容的考法分析(3)

1数学内容的考法分析（3）第三部分统计与概率“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，其内容主要包括概率的认识、数据收集、整理、描述和分析、对事件发生可能性的刻画及做出合理的推断和预测等．2006年对“统计与概率”的考查体现出重视统计思想、收集数据、描述数据、分析数据的过程、合理决策、随机思想及能解决一些简单实际问题的特点。一．“统计”的考法分析（一）内容特点分析1．自身的结构特点统计本身更多地体现归纳推理。全面调查和抽样调查是收集数据的主要方法，样本估计总体的思想是统计活动的重要思想，各种统计图表是数据描述的重要形式各种统计量的合理使用是实现统计推断的重要依据之一。2．初中数学中的地位义务教育阶段的初中数学教育的本质是公民素养教育。在以信息和技术为基础的现代社会里，能在不确定情境中，根据大量随机的数据，做出合理的决策是每一个公民都应当具备的基本素质。统计部分恰好是培养学生这方面能力的最好载体。（二）考法分析1．结合学生实际，考查学生的统计意识及对统计量的基本应用例1．若甲、乙两名同学五次数学模拟考试成绩的平均分都是135分，且甲同学成绩的方差s2甲＝1.05，乙同学成绩的方差s2乙＝0.41，则甲、乙两名同学成绩相对稳定的是．（填“甲”或“乙”）【沈阳市2006年中考数学试题（非课改）】【考法评析】本题以学生自身实践过的内容为问题背景，从知识的角度考查了学生对数据离散程度的理解和鉴别，考查了学生根据方差做出合理判断的能力。例2．一鞋店试销一种新款女鞋，一周内各种型号的鞋卖出的情况如下表所示：型号2222.52323.52424.525数量（双）351015842对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的（）Ａ．平均数Ｂ．众数Ｃ．中位数Ｄ．极差【2006年辽宁省十一市中等学校招生考试】【考法评析】问题设计的背景是学生熟知的生活内容，利用了表格的形式给出信息，这种同时考查平均数、众数、中位数、极差统计量的题目，既考查了学生的统计意识以及对相关统计量所代表数据特征的理解，也便于区分多个统计量在实际应用中的作用。2．结合具体调查问题，考查学生能否选取合适调查方式收集数据例3．下列调查方式，合适的是（）Ａ．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式Ｂ．要了解淮安电视台“有事报道”栏目的收视率，采用普查方式Ｃ．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式2Ｄ．要了解外地游客对“淮扬菜美食文化节”的满意度，采用抽查方式【2006年江苏省淮安市中等学校招生文化统一考试数学试题】例4．某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是（）Ａ．在公园调查了1000名老年人的健康状况Ｂ．在医院调查了1000名老年人的健康状况Ｃ．调查了10名老年邻居的健康状况Ｄ．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况【2006年山东省青岛市初级中学学业水平考试】【考法评析】在统计中，采取适当的调查方式或抽样方式来收集数据是解决统计问题的基础。尽管所利用的问题背景不同，但是，例3和例4这两例的考法，分别针对相关实际意义下的调查方式和抽样方式，目的明确地考查了学生理解选取合适调查方式或抽样方式的情况。因此，这样的题目具有良好的效度。3．直接考查从统计图和统计表中获取数据信息的能力例5．小刘对本班同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，她根据采集到的数据，绘制了下面的图1和图2．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图1中，将“书画”部分的图形补充完整；（2）在图2中，求出“球类”部分所对应的圆心角的度数，并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数；（3）观察图1和图2，你能得出哪些结论？（只要写出一条结论）．【2006年常州市初中毕业、升学统一考试数学试题】例6．某校七年级200名女生的身高统计数据如下：组别身高／cm女生人数第1组135145x≤50第2组145155x≤p第3组155165x≤70第4组165175x≤q球类35%书画音乐其它图2人数兴趣爱好内容球类书画音乐其它1412108642图13请你结合图表（图3），回答下列问题：（1）表中的p，q；（2）请把直方图补充完整；（3）这组数据的中位数落在第组．【吉林省2006年初中毕业生学业考试数学试卷】【考法评析】上述两题的设计均有以下两个方面鲜明特点：第一，借助了源于学生生活实际背景与数据，体现了统计知识在应用中的重要作用，强调了对统计知识内容的考查一般应结合现实背景的考法特点。第二，在本题中，同时考查了统计表与统计图，这种考法有利于落实对学生直接从统计表与统计图中获取数据信息的能力考查，有利于落实对学生综合运用统计表与统计图能力的考查，也体现了这两者之间知识的内在联系层面的考查。4．考查学生从多个统计图中获取数据信息及应用的能力例7．某网站公布了某城市一项针对2006年第一季度购房消费需求的随机抽样调查结果，下面是根据调查结果制作的购房群体可接受价位情况的比例条形统计图（图4）和扇形统计图（图5）的一部分．请根据统计图中提供的信息回答下列问题：（1）若2500～3000可接受价位所占比例是3500以上可接受价位所占比例的5倍，则这两个可接受价位所占的百分比分别为．（2）补全条形统计图和扇形统计图；（3）购房群体中所占比例最大的人群可接受的价位是；（4）如果2006年第一季度该市所有的有购房需求的人数为50000人，试估计这些有购房需求的人中可接受3500元／平方米以上的人数是人．【2006年辽宁省十一市中等学校招生考试】例8．图6和图7是某报纸公布的中国人口发展情况统计图和2000年中国人口年龄构成图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：1020304050607080900135145155165175身高／cm人数图3图5图44（1）2000年，中国60岁及以上人口数为亿，15～59岁人口数为（精确到0.01亿）；（2）预计到2050年，中国总人口数将达到亿，60岁及以上人口数占总人口数的％（精确到0.1％）；（3）通过对中国人口发展情况统计图的分析，写出两条你认为正确的结论．【海南省2006年初中毕业升学考试】【考法评析】上述两个题目的设计，均给出了条形图和扇形图这两个统计图，而学生要正确解答题目所设计的问题，均需要具有良好的统计意识以及对统计图的准确理解能力。因而，这类考法能较为有效地考查学生从不同的统计图中合理获取数据信息并进行数据信息处理的能力，以及渗透考查学生在此前提下利用统计数据进行科学决策的能力水平。5．利用统计量考查学生的统计推断例9．某城区举行“八荣八耻”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在七，八年级分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图7所示：团体成绩众数平均数方差七年级85.739.6012345678910成绩（分）图5图6图75八年级85.727.81根据图5和右表提供的信息，解答下列问题：（1）请你把右边的表格填写完整；（2）考虑平均数与方差，你认为年级的团体成绩更好些；（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些，请说明理由．【2006年南宁市中等学校招生考试】【考法评析】在本题的设计中，体现了下面三个方面考法特点并达到了较好地考试目的：第一，关注了社会热点与学生身边的生活现象，具有良好的现实性和教育性。第二，在本题中由于利用了折线图提供数据信息，考查了学生读统计图的能力，考查了学生借助统计图进行统计推断的能力。第三，本题涉及众数、平均数、方差等三类统计量，重点考查了这三类统计量在本题所给现实情境中的实际意义，考查了学生科学选用统计量、并进行统计量的比较来进行统计推断的能力。例10．某公司员工的月工资情况统计如下表：员工人数2482084月工资（元）50004000200015001000700（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数；（2）你认为用（1）中计算出的哪个数据来代表该公司员工的月工资水平更为合适？请简要说明理由；（3）请画出一种你认为合适的统计图来表示上面表格中的数据．【2006年河南省高级中等学校招生学业考试数学试题】例11．为选拔两名运动员参加即将举行的十米跳台比赛，教练对甲、乙、丙、丁四名运动员十米跳台技能进行了跟踪测试，连续记录了最近5次的测试成绩，如下表所示（按10分制记分）：第一次第二次第三次第四次第五次甲77888乙57767丙66567丁87677（1）填写下表：运动员平均数众数中位数方差甲880.24乙6.470.64次数成绩运动员6丙660.4丁777（2）如果你是教练，你将挑选哪两名运动员参赛？叙述理由（至少两条）．【山西省2006年高中阶段教育招生统一试卷】【考法评析】上述两个题目的共同考法特点是：第一，从统计表所给出的数据出发，首先考查学生获取并加工数据信息的能力，进而考查计算相关统计量的能力。这表明了，获取数据信息并计算相关统计量，是解决大量与统计相关的实际问题的重要基础能力。第二，借助加工信息和计算所获得的统计量，科学合理地进行统计推断。总之，这类题目的考法与例9的考法基本相通，都大体遵循了“获取信息――加工信息――科学应用”的模式，具有良好的效度、信度和可推广性。二．“概率”的考法分析（一）内容特点分析1．自身的结构特点概率体现了统计中通过数据探究规律的归纳思想，概率可以从两个方面把握。一方面，从自身事件发生的各种可能性去判断、把握概率。另一方面，通过频率来估计事件的概率。从事件的频率来估计事件的概率反映了统计与概率之间的联系。2．初中数学中的地位随着社会的快速发展概率在人们的生活的地位将越来越重要，人们面对纷繁复杂的世界需要做出各种各样的选择，而能确定随机事件发生概率的大小往往是做出选择的重要依据之一。概率的这种作用决定了它是初中数学不可缺少的部分。（二）考法分析1．直接考查概率知识中的基本概念例1．下列事件是必然事件的是（）A．今年10月1日湛江的天气一定是晴天B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军C．当室外温度低于10℃时，将一碗清水放在室外会结冰D．打开电视，正在播广告【2006年湛江市课改实验区高中招生数学试题】例2．“太阳从西边出来”所描述的是一个___________事件．【2006年湖南张家界市初中毕业学业考试题】【考法评析】上述两题结合实际问题直接考查学生对必然事件和不可能事件概念的理解情况，渗透了生活离不开数学，具有较高的效度。2．直接考查求一个简单事件概率的技能例3．如图1所示，小李和小陈做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是．456789456123图17【2006年柳州市、北海市课改实验区中考题】例4．如图2，是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是红桃1，2，3和方块1，2，3，将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张．（1）用列举法列举所有可能出现的结果；（2）求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率．【株洲市2006年初中毕业学业考试试卷】【考法评析】上述两题从考法的意义上看具有如下两个方面的特点：第一，按照概率这个数学分支发展起源的特点，都具有明显的游戏色彩，所以这两个题目都具有符合概率意义的良好的考试效度。第二，在这两题目中，都强调依据课标的要求考查了利用树状图或列表的方式直接求概率的基本技能。所以，这两个题目虽然选择了填空题和解答题的不同题型方式，但从深层次看，它们具有相同的意义。2.考查学生用频率估计概率的能力例5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15％和45％，则口袋中白色球的个数很可能是（）Ａ．6Ｂ．16Ｃ．18Ｄ．24【2006年河南省课改实验区中考题】例6．含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红