数学分析(二)试卷3

1数学分析（二）试卷3一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(xf在],[ba上可积的必要条件是（）A连续B有界C无间断点D有原函数2、函数)(xf是奇函数，且在],[aa上可积，则（）Aaaadxxfdxxf0)(2)(B0)(aadxxfCaaadxxfdxxf0)(2)(D)(2)(afdxxfaa3、下列广义积分中，收敛的积分是（）A101dxxB11dxxC0sinxdxD1131dxx4、级数1nna收敛是1nna部分和有界的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件5、下列说法正确的是（）A1nna和1nnb收敛，1nnnba也收敛B1nna和1nnb发散，1)(nnnba发散C1nna收敛和1nnb发散，1)(nnnba发散D1nna收敛和1nnb发散，1nnnba发散6、)(1xann在],[ba收敛于)(xa，且)(xan可导，则（）A)()('1'xaxannB)(xa可导Cbanbandxxadxxa)()(1D1)(nnxa一致收敛，则)(xa必连续27、下列命题正确的是（）A)(1xann在],[ba绝对收敛必一致收敛B)(1xann在],[ba一致收敛必绝对收敛C若0|)(|limxann，则)(1xann在],[ba必绝对收敛D)(1xann在],[ba条件收敛必收敛8、012121)1(nnnxn的和函数为（）AxeBxsinCxarctanDxcos9、函数)ln(yxz的定义域是（）A0,0|),(yxyxBxyyx|),(C0|),(yxyxD0|),(yxyx10、函数),(yxf在),(00yx可导与可微的关系（）A可导必可微B可导必不可微C可微必可导D可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分）1、914)(dxxf，求202)12(dxxxf2、计算02221dxxx3、计算11nnxn的和函数，并求1)1(nnn4、设xyyxz1arctan，求yxzyzxz22222,,5、计算22200limyxyxyx3三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、讨论)0,0(),(0)0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf在)0,0(点的可导性、连续性和可微性2、讨论221sin2)1(nnnnnx的敛散性四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设221)(xnxxSn，证明)}({xSn在),(上一致收敛2、设yxez，证明它满足方程0yzyxzx3、设)(xf在]1,0[连续，证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf，并求02cos1sindxxxx1参考答案一、1、B2、B3、A4、B5、C6、D7、D8、C9、B10、C二、1、2022202)12()12(21)12(xdxfdxxxf（3分）令122xu，912022)(21)12(duufdxxxf（3分）2、02221dxxx=4)1arctan(lim)1()1(11lim002AAAAxxdx（6分）3、解：令)(xf=11nnxn，由于级数的收敛域)1,1[（2分），)('xf=xxnn1111，)(xf=)1ln(110xdttx（2分），令1x，得2ln)1(1nnn4、解：两边对x求导211xzx,211yzy（3分）0,)1(2,)1(2222222222yxzyyyzxxxz（3分）5、解：xyxyx||0222（5分）0lim22200yxyxyx（1分）由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、00lim)0,0()0(lim)0,0(00xxfxffxxx，同理0)0,0(yf（4分），又但沿直线mxy趋于（0，0），201),(limmmyxfmxyx，所以22)0,0(),(limyxxyyx不存在，也即函数在（0，0）点不连续，（4分），因而函数在（0，0）点也不可微（2分）2、解：由于xnxnnnnn221sin2|sin2)1(|lim（3分），即1sin22x级数绝对收敛1sin22x条件收敛，1sin22x级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为0)()(xSxSn（2分），因为nxnxxSxSn211)()(22，（4分），20，取21N，当Nn时，nxSxSn21)()(，对一切),(x成立，所以)}({xSn在),(上一致收敛（4分）2、yexzyx1，2yxeyzyx，（7分）则012yxyeyxeyzyxzxyxyx（3分）a)证明：令tx0000)(sin)(sin))(sin()()(sindtttfdttfdttftdxxxf得证（7分）8cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx（3分）