数学分析专题研究试题及参考答案

数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X中的关系R同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R为.2．设E是非空数集，若存在实数β，满足1）Ex，有x；2），则称β是数集E的下确界。3．函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义，若存在，则称函数)(xf在点0x可导。4．若)(xfy是对数函数，则)(xf满足函数方程)(xyf。5．若非零连续函数)(xf满足方程)()()(yfxfyxf，则函数)(xf是函数。6．设函数)(xf定义在区间),(ba上，对于任意的),(,21baxx，)1,0(，有成立，则称)(xf在),(ba上为下凸函数。二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f：YX，XA，则A（）))((1AffA.=B.≠C.D.2．已知函数)(xfy在区间),(ba上可导，),(bax，有1)(0xf，则（）。A.)(xf有界B.)(xf无界C.)(xf可积D.)(xf不可积3．已知函数)(xf与)(x在[a,b]上可导，且)(xf)(x，则（）。A.)(xf≠)(xB.)(xf)(xC)(xf)(xD.前三个结论都不对4．已知]2,1(2]1,0[1)(tttf，对于]2,0[x，定义xttfxF0d)()(，则)(xF在区间[0，2]上（）。A.连续B.不连续C.可导D.前三个结论都不对5．已知)(xf是区间],[ba上的严格下凸函数，则（）。A.0)(xfB.最小值唯一C.0)(xfD.最大值唯一6．xxxfsin)(定义在（0，1）上，则)(xf在（0，1）上是()函数A.有界B.无界C.周期D.偶三、计算题（每小题8分，共32分）1．已知2costan)(xxf，求)(xf2．求定积分20dcosxxx3．已知34)1(2xxxf，求)(xf。4．求30sinlimxxxx四、证明题（每小题8分，共32分）1．设数列{na}满足na0且1limrannn，则级数1nna收敛2．已知函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内存在二阶导数，且0)()(bfaf，存在0)(),,(cfbac。则至少存在一点),(ba，使0)(f。3．已知2,0,0yxyx，证明2sinsinyx4．已知函数在],[ba上连续非负，且存在一点),(0bax，使0)(0xf，则baxxf0d)(。模拟试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．等价关系2．Ex0,0，使得0x3．xxfxxfx)()(lim0004．)()()(yfxfxyf5．线性6．)()1()())1((2121xfxfxxf二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．D2．C3．D4．A5．B6．A三、计算题（每小题8分，共32分）1．解：xxxxf2sin)(coscos1)(22212cos2dsin2dsinsindcos.22020202020xxxxxxxxxx解3．解34)1(2xxxf8)1(6)1(2xx故86)(2xxxf4．解20303cos1limsinlimxxxxxxx=xxxxxxx2sinlim31coslim3102061sinlim610xxx四、证明题（每小题8分，共32分）1．证明：因1limrannn，故存在N，当Nn时，1210rrann2．即Nn时，有nnra0（4分）因为级数10Nnnr收敛。故有111NnnNnnnnaaa。因1Nnna收敛（7分），故1nna收敛。2．证明：已知f(x)在（a,b）内存在二阶导数，故f′(x)在（a,b）内连续，由拉格朗日定理，存在),(1ca，使得0)()()(1cacfaff存在),(2bc，使得0)()()(2cbcfbff故存在),(21，使得0)()()(1212fff3．证明：已知xxfsin)(在]2,0[上是上凸函数（2分），故对于)1,0(21),2,0(,yx有)sin(sin212sinyxyx故24sin22sin2sinsinyxyx4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在),(0bax使0)(0xf，故存在0，使得),(),(00baxx且当),(00xxx时，)(21)(0xfxf（4分），因f(x)非负，故bxxxxabadxxfdxxfdxxfdxxf0000)()()()(0)(2)(21)(0000xfxfdxxfxx