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《数学分析》教案-1-第二十一章重积分教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。教学时数：22学时§1二重积分概念一.矩形域上的二重积分:从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义二重积分.例1用定义计算二重积分.用直线网分割该正方形,在每个正方形上取其右上顶点为介点.解.二.可积条件:D.大和与小和.Th1,.《数学分析》教案-2-Th2,.Th3在D上连续,在D上可积.Th4设,为上的可积函数.D,(或D).若在D上有界,且在D\上连续,则在D上可积.例2P217ex2三．一般域上的二重积分：1．定义：一般域上的二重积分.2．可求面积图形:用特征函数定义.四.二重积分的性质:性质1.性质2关于函数可加性.性质3则在D上可积在和可积,且.性质4关于函数单调性.性质5.《数学分析》教案-3-性质6.性质7中值定理.Th若区域D的边界是由有限条连续曲线(或)组成,在D上连续,则在D上可积.例3去掉积分中的绝对值.§2二重积分的计算二.化二重积分为累次积分:1.矩形域上的二重积分:用“体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分:简推公式,一般结果]P219Th9.例1,.解法一P221例3解法二为三角形,三个顶点为,.例2,.P221例2.例3求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案-4-§3Green公式.曲线积分与路径无关性一.Green公式:闭区域的正面与边界正向的规定搭配:右手螺旋定向,即以右手拇指表示区域的正面(理解为拇指“站立在”区域的正面上),则其余四指(弯曲)表示边界的正向.右手螺旋定向法则还可表述为:人站立在区域的正面的边界上,让区域在人的左方.则人前进的方向为边界的正向.参阅P图21—10.若以L记正向边界,则用—L或L表示反向（或称为负向）边界.1.Green公式:Th21.11若函数P和Q在闭区域DR上连续,且有连续的一阶偏导数,则有,其中L为区域D的正向边界.(证)P224Green公式又可记为.1.应用举例:对环路积分,可直接应用Green公式.对非闭路积分,常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1计算积分,其中AB.曲线AB为圆周在第一象限中的部分.P226例1《数学分析》教案-5-解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为.方向为自然方向的反向.因此.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点),成闭路.设所围区域为D,注意到D为反向,以及,有.例2计算积分I=,其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2解.(和在D上有连续的偏导数).,.于是,I=.二.曲线积分与路线无关性:《数学分析》教案-6-单连通域和复连通域.1.积分与路径无关的等价条件:P228Th21.12设DR是单连通闭区域.若函数和在闭区域D内连续,且有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价:ⅰ沿D内任一按段光滑的闭合曲线L,有.ⅱ对D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分与路径无关,只与曲线L的起点和终点有关.ⅲ是D内某一函数的全微分,即在D内有.ⅳ在D内每一点处有.2.恰当微分的原函数:若有,则称微分形式是一个恰当微分.恰当微分有原函数,(它的一个)原函数为:.或其中点D,当点D时,常取=.验证第一式:=《数学分析》教案-7-;.例6验证式是恰当微分,并求其原函数.P231例4.§4二重积分的变量变换:（4时）1.二重积分的变量变换公式:设变换的Jacobi,则,其中是在该变换的逆变换下平面上的区域在平面上的象.由条件,这里的逆变换是存在的.一般先引出变换,由此求出变换.而.例1,.P235例1.註当被积函数形如,积分区域为直线型时,可试用线性变换.《数学分析》教案-8-例2,.解设.则.，.因此,.註若区域是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别)围成的四线型区域,可引进适当的变换使其变成矩形区域.设区域由以下两组曲线围成:第一组:;第二组:.可试用变换..从中解出.在此变换之下,区域变成平面上的矩形区域.例3求由抛物线和直线所围平面区域的面积.P236例2.2.极坐标与广义极坐标变换:《数学分析》教案-9-极坐标变换:,.广义极坐标变换:,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体被圆柱面所割下立体的体积.P240例4.例6应用二重积分求广义积分.P241例5.例7求橢球体的体积.P241例6.四.积分换序:例8连续.对积分换序..例9连续.对积分换序..例10计算积分..§5三重积分简介《数学分析》教案-10-一．三重积分的定义：1．长方体上的积分：2．一般可求体积立体上的积分：二．三重积分的计算：1．长方体上的积分：.2.型体上的积分:⑴内一外二:=,其中,为在平面上的投影.就函数为点密度的情况解释该公式.⑵内二外一:=,其中介于平面和之间,是用平面截所得的截面.内二外一多用于围成的闭合曲面由一个方程给出的情况.例1,:.P245例1.解,《数学分析》教案-11-例2,:.解.法一(内二外一),其中为椭圆域,即椭圆域,其面积为.因此.同理得,.因此.法二(内一外二)上下对称,为的偶函数,《数学分析》教案-12-,其中为在平面上方的部分,其在平面上的投影为椭圆.于是.,.因此.同理…….于是.例3设.计算积分,:.解.三.三重积分换元公式:《数学分析》教案-13-Th21.13P247.1.柱坐标:P248.例4,:.P248例32.球坐标:P249.P250例4.§6重积分的应用一、曲面的面积设曲面方程为.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式,或.例1P253例1`.二、重心P255三、转动惯量P256