数学分析期末考试题

1数学分析期末考试题一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、叙述反常积分adxxfba,)(为奇点收敛的cauchy收敛原理2、二元函数),(yxf在区域D上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分）1、)212111(limnnnn2、求摆线]2,0[)cos1()sin(ttayttax与x轴围成的面积3、求dxxxcpv211)(4、求幂级数12)1(nnnx的收敛半径和收敛域5、),(yxxyfu，求yxu2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yxyxyxf2),(，求),(limlim),,(limlim0000yxfyxfxyyx；),(lim)0,0(),(yxfyx是否存在？为什么？2、讨论反常积分0arctandxxxp的敛散性。3、讨论133))1(2(nnnnn的敛散性。四、证明题：（每小题10分，共20分）1、设f（x）在[a,b]连续，0)(xf但不恒为0，证明0)(badxxf2、设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu2参考答案一、1、,0.0使得210，成立21)(aadxxf2、设2RD为点集，mRDf:为映射，,0.0使得Dxxxx2,121,，成立)()(21xfxf二、1、由于x11在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）)212111(limnnnn=2ln11)11211111(1lim10dxxnnnnnn（6分）2、、所求的面积为：22023)cos1(adxxa（8分）3、解：AAAdxxxdxxxcpv2211lim11)((3分）4、解：11lim2nnx，r=1（4分）由于x=0，x=2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）5、解：yu=221yxfxf（3分）322112212yxfxyfyffyxu（5分）三、1、解、0limlimlim,1limlimlim202000200yyyxyxxxyxyxyxyxyx（5分）由于沿kxy趋于（0，0）极限为k11所以重极限不存在（5分）2、解：1100arctanarctanarctandxxxdxxxdxxxppp（2分），对10arctandxxxp，由于)0(1arctan1xxxxpp故p2时10arctandxxxp收敛（4分）；1arctandxxxp，由于)(2arctanxxxxpp（4分）故p11arctandxxxp收敛，综上所述1p2，积分收敛3、解：13123])1(2[lim3nnnnn所以级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由0)(xf但不恒为0，至少有一点],[0baxf（x）在[a,b]连续（2分），存在3包含x0的区间],[],[badc，有0)(xf（4分），0)()(dcbadxxfdxxf（4分）2、证明：以二元函数为例ugradvvgraduvvuuuvuvuvvuvuuvvuuvvuuvgradyxyxyxyxyyxx),(),(),(),(),()(（10分）