数学分析练习题(一)

1数学分析练习题（一）1．设00ax，0,23121nxaxxnnn，证明数列nx收敛并求其极限.2．求.2cos2cos2cos2coslim32nnxxxx并由此证明Vieta公式：21212121212121212123．用N语言证明，若实数列}{nx满足0lim2nnnxx，则.0lim1nxxnnn4．证明：.613lim11lim12132ninninnini并求.)0(,1lim12aaninin5．设nnxnnnnxf1111lim)(1，写出)(xf的表达式及定义域.6．设1,1ba，函数:fRR在0x附近有界，且对任意实数x，)()(xbfaxf，证明：)(xf在零点连续.7．设)(,)(xgxf为周期函数，且0))()((limxgxfx，证明：gf.8．设)(,)(tbta为]1,0[上连续函数，1)(0ta，求证：方程))()((max10txatbxt的解为)(1)(max10tatbxt.9．设函数)(xf在),0[连续，有界，求证：0，存在数列nx，使.0))()((limnnnxfxf10．请问是否存在R上的连续函数，使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好取到三次？11．求证：在R上不存在可导函数)(xf满足.33)(22xxxf12．设nxyn,122，求.)1()(ny213．Riemann函数:RRR的定义是：.,00,1;0,1)(QxqqxxR且qp,为互素整数；求极限)(lim0xRxx，其中0xR.14．证明Riemann函数)(xR处处不可导.15．构造可导函数)(xf，使)(xf在有理数点的函数值为有理数，而导数值为无理数.16．证明：当)1,(x时，.4arctan11arctanxxx17．求和：nkkxk1sin，nkkxk1.cos18．设nm,，证明：nknmknknmnnmkC0.,!)1(;1,0)1(19．已知：函数)(xf在区间]1,0[上连续，在)1,0(可导，且0)1()0(ff，1)21(f，求证：R，)1,0(，使1])([)('ff.20．对于R上函数)(xf，记)(lim)(xffx，.)(lim)(xffx设)(,)(xgxf在R上可导，xR，0)('xg，且)(f，)(f，)(g，)(g存在，证明：.)(')(')()()()(..,),(gfggffts21．设)(,)(xgxf可导，且对一切x都有0)(')(')()(xgxfxgxf，那么在)(xf的任何两个零点之间，至少有)(xg的一个零点.22．设:fRR有二阶连续导数，且xR，1|)('|xf，此外.4)0(')0(22ff证明：0xR，使.0)('')(00xfxf23．设],[:bafR在],[ba可导且.)(')('bfaf证明：.)()()('..,),(aaffftsba324．函数)(xf在],[ba上二次可导且.0)(')('bfaf证明：.)()()(4)(''..,),(2afbfabftsba25．设函数)(xf在),[a可导，当ax时有.|)(||)('|xfxf求证：.0)(xf26．设函数)(xf在),0[可导，且21)(0xxxf，证明：.11)('..,0222fts27．设函数)(xf在]1,0[连续，在)1,0(可导，.1)0()1(ff求证：对于1,,2,1,0nk，存在)1,0(k，使.)1()!1(!!)('1knkkkkknknf28．设I为开区间，函数)(xf在I上为凸函数的一个充要条件为：.,)()()(..,,IxcfcxaxftsaIc29．求极限：（1）;11limexxxx（2）;arccos2lim/10xxx（3）.arctan2limxxx30．设.1,sin,0sin101nxxxxnn证明：.13limnnxn31．设.1,1ln1,011nnynycynn求极限：.limnny32．画出xexy2的图形.33．设xdtttxf11ln)(，对于0x，求)1()(xfxf.34．设函数)(xf连续可导,1)1(f,且当1x时有)(1)('22xfxxf,证明：)(limxfx存在，且.41)(limxfx35．设函数)(xf在]1,0[上二阶连续可导，.1)1(',0)0(')1()0(ffff4证明：4)(''102dxxf，并指出等号成立的条件.36．设)0()(xxy是严格单调增加的连续函数，)(,0)0(yx是它的反函数，证明：babaabdyydxx00)0)(,0()()(，等号成立当且仅当)(ab。（上不等式称为Young不等式）37．证明以下形式的Young不等式：qpbqapab11，其中111qp，0,,,qpba，等号成立当且仅当.qpba38．设)(,)(xgxf在],[ba连续，111qp，1p，证明Hölder不等式：qqabppababdxgdxfdxfg/1/1，等号成立当且仅当qpgBfA||||，A，B为常数.39．证明Hölder不等式：qniqinipnipiiibaba/111/11，其中1,qp，且111qp，naaa,,,21及nbbb,,,21为两组不全为零的非负实数.40．设)(,)(xgxf在],[ba连续，1p，证明Minkowski不等式：.||||||/1/1/1ppabppabppabdxgdxfdxgf41．证明：（1）20122022012sinsinsindxxdxxdxxnnn；（2）2)12(31)2(42121lim2nnnn；（3）证明Wallis公式：.!22!lim22nnnnn42．证明：0,1121lnln2abbaababba.543．证明：数列21!nnnnena单调下降故有极限A，且0A.44．证明Stirling公式：.)(2~!nennnn45．估计当n时，无穷大量nnC2的阶数.