数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章多元函数微分学一、证明题1.证明函数0yx0,0yx,yxyxy)f(x,2222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2.证明函数0yx0,0yx,yx1)siny(xy)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.3.证明:若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.4.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有xy1yxarctg≈x+y.5.试证:(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=22yxfy,其中f为可微函数,验证x1xZ+y1yZ=2yZ.7.设Z=siny+f(sinx-siny),其中f为可微函数,证明:xZsecx+yZsecy=1.8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=ucosθ-vsinθ,y=usinθ+vcosθ之下.2xf+2yf是一个形式不变量,即若g(u,v)=f(ucosθ-vsinθ,usinθ+vcosθ).则必有2xf+2yf=2ug+2vg.(其中旋转角θ是常数)9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:Fx(0,0)与Fg(0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t0)则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是:z,y,xxFx+z,y,xyFy+z,y,xZFx=KF(x,y,z).并证明:Z=xyyxxy222为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质fZt,yt,txmk=ftn(x,y,z)(t0)证明:(1)f(x,y,z)=mknxZ,xy,1fx;(2)z,y,xxfx+z,y,xkyfy+z,y,xmzfz=nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=tatatatatatatatatannn21n2n22211n1211其中taij(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明dttdD=n1ktatatatatatatatatannn21nknk21k1n121113.证明:(1)grad(u+c)=gradu(c为常数);(2)graqd(αu+βv)=αgradu+βgradv(α,β为常数);(3)grsduv=ugradv+vgrsdu;(4)gradf(u)=f(u)gradu.14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明;若0,yxfi(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sinxcosy施用中值定理,证明对某(0,1),有43=6cos3cos36sin3sin6.16.证明:函数u=ta4bx22eta21(a,b为常数)满足热传导方程:tu=222xua17.证明:函数u=22byaxln(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:22xu+22yu=0.18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:22xu+22yu=0.则函数V=f(22yxx,22yxy)也满足此方程.19.设函数u=yx,证明:xuyxu2=yu22xu.20.设fx,fy和fyx在点(x0,y0)的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0),21.设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1)Z=x2y;(2)Z=ycosx;(3)Z=22yx1;(4)Z=ln(x+y2);(5)Z=exy;(6)Z=arctgxy;(7)Z=xyesin(xy);(8)u=zxyZxy;(9)u=(xy)z;(10)u=zyx.2.设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx;求fx(x,1).3.设0yx0,0yx,yx1ysiny)f(x,222222考察函数f在原点(0,0)的偏导数.4.证明函数Z=22yx在点(0,0)连续但偏导数不存在.5.考察函数0yx0,0yx,yx1xysiny)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6.求下列函数在给定点的全微分;(1)Z=x4+y4-4x2y2在点(0,0),(1,1);(2)Z=22yxx在点(1,0),(0,1).7.求下列函数的全微分;(1)Z=ysin(x+y);(2)u=xeyx+e-z+y8.求曲面Z=arctgxy在点4,1,1处的切平面方程和法线方程.9.求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10.在曲面Z=xy上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11.计算近似值:(1)1.002×2.0032×3.0043;(2)sin29°×tg46°.12.设园台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm高h=40cm.若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13.设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1)若在intD内有fx≡0,试问f在D上有何特性?(2)若在intD内有fx=fy≡0,f又怎样?(3)在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14.求曲面Z=4yx22与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.15.测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw算出的比重d的相对误差限和绝对误差限.16.求下列复合函数的偏导数或导数:(1)设Z=arctg(xy),y=ex,求xdZ;(2)设Z=xyyx2222exyyx,求xZ,yZ;(3)设Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求dtZ;(4)设Z=x2lny,x=vu,y=3u-2v,求uZ，vZ；(5)设u=f(x+y,xy),求xu,yu;(6)设u=fZy,yx,求xu,yu,Zu.17.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数.19.求函数u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z)处的梯度以及它们的模.20.设函数u=lnr1,其中r=222cz0yax求u的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu=1.21设函数u=222222byaxcz,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设r=222zyr,试求:(1)gradr;(2)gradr1.23.设u=x3+y3+z3－3xyz,试问在怎样的点集上gradu分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L是R2上的一个确定向量,倘若处处有fL(x,y)0,试问此函数f有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1)Z=x4+y4－4x2y2,所有二阶偏导数;(2)Z=ex(cosy+xsiny),所有二阶偏导数;(3)Z=xln(xy),yxz23,23yxz;(4)u=xyzex+y+z,rqpzqpzyxu;(5)Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数;(6)u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数；(7)Z=f(x+y,xy,yx),zx,zxx,Zxy.26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1)f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止);(2)f(x,y)=yx在点(1,1)(到三阶为止);(3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4)f(x,y)=2x2―xy―y2―6x―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1)Z=3axy―x3―y3(a0);(2)Z=x2+5y2―6x+10y+6;(3)Z=e2x(x+y2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1)Z=22yx,2xy,x+4y2；(2)Z=22yxyx,1yxy,x;(3)Z=sinx+sing－sin(x+y),2yx,0xy,xy,x29.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y－16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n个点的坐标分别是111y,xA,222y,xA,…nnny,xA.试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.32.设u=222zyxzyx111求(1)ux+uy+uz;(2)xux+yux+zuz;(3)uxx+uyy+uzz.33.设f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1.设f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明fx+fy+fz=(x+y+z)2.2.求函数0yx0,0yx,yxyxy)f(x,22222233在原点的偏导数fx(0,0)与fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3.设1nn1n21n12n2221n21xxxxxxxxx111u证明:(1)n1kk0;xu(2)n1kkku21)n(nxux.4.设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试证函数g(t)=f(a+ht,b+kt)的n阶导数kt)bht,f(aykxhdtg(t)dnnn.5.设22x求xkzhygyfxezdzcybxaz)y,(x,.6.设(z)h(z)h(z)h(y)g(y)g(y)g(x)f(x)f(x)fz)y,Φ(x,321321321求zyxΦ3.7.设函数u=f(x,y)在R2上有uxy=0,试求u关于x,y的函数式.8.设f在点p0(x0,y0)可微,且在p0给定了n个向量Li(i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明n1i0Li0)(pf.9.设f(x,y)为n次齐次函数,证明1)fm(n1)n(nfyyxxm.10.对于函数f(x,y)=sinxy,试证myyxxf=0.