数学初三讲义T5Bcssx16

科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第十六周总复习（五）开放型问题例析一、典型例题分析例1（2005年呼和浩特市中考题）如图，DE是⊙0直径，弦AB⊥DE，垂足为C，请你找出具有相等数量关系的结论（至少写出四对等量关系）解:弧AE=弧BE，弧AD=弧BD，AC=BC，AD=BD，∠ADE＝∠BDE，∠A=∠B等中任意四对．例2（2005年广州市课改区中考题）(1)观察图的①一④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；(2)借助图之⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与图的①一④的图案不能重合）解（1）答案不惟一，例如所给的四个方案具有的共同特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线形图案；④图案中不含钝角；------等等．只要写出两个即可．(2)答案不惟一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征，均正确，例如：同时具备特征①、②的部分图案如下：说明本题主要考查从不同图形中寻找共同的特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念．例3（2005年南宁市课改区中考题）如图,EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件．另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB＝AC；②DE=DF；③BE＝CF．解已知：EG∥AF,AB=AC,DE=DF求证：BE＝CF．证明∵EG∥AF，∴∠GED＝∠F，∠BGE=∠BCA．∴AB＝AC，∴∠B=∠BCA．∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，FDCEDGDFDEFGED∴△DEG≌△DFC．∴EG=CF∴BE＝CF．例5（2005年杭州市中考题）我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个棱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．解圆和正六边形为相似图形，因为它们的对应元素都成比例；菱形和长方形不是相似图形，因为它们对应的元素不一定都成比例．（或举出具体反例）例6（2005年济南市中考题）小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”，于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成300、450、600方向推了三次．铅球推出后沿抛物线形运动．如图，小明推铅球时的出手点距地面2m,以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立坐标系，分别得到的有关数据如下表：(1)请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填人表格中的横线上；(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议．解（1）一0．1，10.抛物线y=a（x一4）2＋3．6经过点（0，2），解得a=－0﹒1当y=0时,－0.1(x一4)2+3.6=0,解得x=10．(2)推铅球时沿与水平线成45°方向用力推出，推得更远．例8（2005年长沙市中考题）已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE＝BF,FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．(1)如图①，如果点E、F在边AB上，那么EG＋FH＝AC；(2)如图②，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；图①图②(3)如图③，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是．对(1)(2)(3)三种情况的结论，请任选一个给予证明．图③图④解（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG＋FH＝AC．(3)线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG一FH＝AC．证明（2）如图④，过点E作EP∥BC交AC于P，∵EG∥AC，∴四边形EPCG为平行四边形．∵EG=PC，∴HF∥EG∥AC，∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC＝∠AEP．又∵AE=BF,∴△BHF≌△EPA．∴HF=AP，∴AC=PC＋AP＝EG＋HF．即EG＋FH=AC．（用平行线分线段成比例或相似三角形的性质等证明均可）例10（2005年天津市中考题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．（Ⅰ）如图①，在ABC中，∠A=2∠B，且∠A＝60°．求证：a2＝b（b＋c）；图①图②（Ⅱ）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第（Ⅰ）问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC（如图②），其中∠A=2∠B，关系式a2＝b（b＋c）是否仍然成立？证明你的结论；（Ⅲ）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．解(I)证明.∵∠A=60°，∠A=2∠B，∴∠C＝90°．∴在Rt△ABC中，b=21c，a=c23于是，a2=43c2，b（b＋c）=21c（21c+c）=43c2∴a2＝b（b＋c）（Ⅱ）关系式a2＝b（b＋c）仍然成立．证明如图③，延长BA至点D，使AD＝AC＝b．连结CD，则△ACD为等腰三角形．∵∠BAC为△ACD的一个外角，∴∠BAC=2∠D．图③由已知，∠BAC=2∠B，∴∠B=∠D.∴△CBD为等腰三角形．又∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，于是△ACD∽△CBD．∴BDCDCDAD，即cbaab∴a2＝b（b＋c）．（Ⅲ）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2＝b（b＋c），且a＞b．当a＞b＞c时，设a＝n＋1，c=n，b＝n一1，（n为大于1的正整数）代人a2＝b（b＋c），得（n＋1）2＝（n一1）·（2n－1）,解得n=5,有a=6,b=4,c＝5,可以证明这个三角形中,∠A＝2∠B.当c＞a＞b及a＞b＞c时，均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．∴边长为4,5，6的三角形为所求．例11（2005年安徽省中考题）一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B）．该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包各一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包各一个．例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的(x一1)个车站发给该站的邮包共（x一1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n一x）个车站的邮包共（n一x）个．（1）根据题意，完成下表：(2)根据上表，写出列车在第x个车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y（用x、n表示）．(3)当n=18时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？解（1）(2)y=x(n一x)．(3)当n=18时，y＝x（18一x）＝一x2＋18x＝一（x一9）2＋81，当x=9时，y取得最大值．所以列车在第9个车辆启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．例13（2005年河北省中考题）操作示例对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD十S正方形EFGH=S正方形BNED实践与探究(1)对于边长分别为a，b(a＞b)的两个正方形ABCD和EFGH，按右图所示的方式摆放，连结DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N.①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED．请简略说明你的拼接方法（类比上图，用数字表示对应的图形）．(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．解(1)①证明由作图的过程可知四边形MNED是矩形．在Rt△ADM与Rt△CDE中，∵AD=CD，又∠ADM十∠MDC＝∠CDE十∠MDC=90°，∴∠ADM=∠CDE．∴Rt△ADM≌Rt△CDE．∴DM=DE∴四边形MNED是正方形．∵DE2=CD2＋CE2＝a2＋b2，∴正方形MNED的面积为a2＋b2；②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如下图.可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等．所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．（2）答：能．理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，……依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n一1）次拼接，得到一个正方形．例14（2005年重庆市中考题）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a＝PM×PE,b=PN×PF，解答下列间题：图①图②(1)当四边形ABCD是矩形时，见图①,请判断a与b的大小关系，并说明理由；(2)当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图②,(1)中的结论是否成立？请说明理由；(3)在（2）的条件下，设PDBP=k，是否存在这样的实数k，使得94ABDPEAMSS三角形平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．解（1）∵四边形ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD，∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形．∴a=PM·PE=S矩形PEAM，b＝PN·PF＝S矩形PNCF，又BD是对角线，∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，∴△DBA≌△DBC，∵S矩形PEAM＝S△DBA一S△BFB一S△DPE，S矩形PNCF＝S△DBC一S△BFP一S△DPNS矩形PEAM＝S矩形PNCF∴a＝b．(2)成立，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD，∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形，仿（1）可证S平行四边形PEAM＝S平行四边形PNCF，如图，过E作EH⊥MN于点H，则sin∠MPE=PEEH，∴EH=PEsin∠MPE,∴S平行四边形PEAM=AM·EH＝PM·PEsin∠MPE，同理可得:S平行四边形PNCF=PN·PFsin∠FPN:又∵∠MPE=∠FPN=∠A,∴sin∠MPE=sin∠FPN，∴PM·PE=PN·PF，即a=b.(3)方法1：存在，理由如下：由（2）可知S平行四边形PEAM=AE·AM·sinA，S平行四边形ABCD＝AD·ABsinA，∴ABCDPEAMABDPEAMABDPEAMSSSSSS平行四边形平行四边形三角形平行四边形三角形平行四边形222=ABAMADAEAABADAAMAE2sinsin2又∵kPDBP，即1kkBDBP，11kBDPD而1kkBDBPADAE，11kBDPDABAM∴2×94111kkk即2k2一5k＋2=0，∴k1＝2，k2=21，故存在实数k=2或21，使得ABDPEAMSS三角形平行四边形=94方法2:存在，理由如下：连结AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为S1、S2、S3、S4．即PDBPAMBMSS21，PDBPDEAESS43即324321SSkSSkSS∴432421kSSSSkS∴ABDPEAMSS三角形平行四边形=94432132SSSSSS即94)12(2424SKkkS∴2k2一5k＋2＝0，∴k1＝2，k2＝21故存在实数k＝2或21，使得ABDPEAMSS三角形平行四边形=94．