数学基本方法之三 待定系数法 新课标 人教版

用心爱心专心118号编辑1数学基本方法之三待定系数法陕西洋县中学刘大鸣要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：(1)利用对应系数相等列方程；(2)由恒等的概念用数值代入法列方程；(3)利用定义本身的属性列方程；(4)利用几何条件列方程;比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.【方法再现性题组】1设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为____A.52,－2B.－52，2C.52,2D.－52，－22二次不等式ax2＋bx＋20的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____A.10B.－10C.14D.－143在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____A.－297B.－252C.297D.2074函数y＝a－bcos3x(b0)的最大值为32，最小值为－12，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____5与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________6与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________【方法探究过程】1小题：利用互为反函数的对应关系，求出反函数认识恒等意义求解，由f(x)＝x2＋m求出f1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；用心爱心专心118号编辑22小题：认识方程，函数，不等式之间的一一对应关系，根与系数关系简化求解，由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；3小题：注意多项式组成和二项式定理求解，分析x5的系数由C105与(－1)C102两项组成，相加后得x5的系数，选D；4小题：注意正余函数的有界性，由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案23；5小题：平行直线系的认识切入，设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小题：共同渐近线的双曲线系方程的使用，设双曲线方程x2－y24＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x23－y212＝1。【经典问题回放】1函数值域的“逆向思维”中的“待定系数法”例1已知函数y＝mxxnx22431的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。【解析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。函数式变形为：(y－m)x2－43x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0，∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：1120497120()()mnmnmnmn解得：mn51或mn15∴y＝5431122xxx或者y＝xxx224351此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：mnmn6127，解出m、n而求得函数式y。【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，用心爱心专心118号编辑3比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程使用根与系数的关系.2函数和不等式证明中的“待定系数法”的沟通作用例2已知a,b,c是实数，函数111112x.xf,x,cbxaxxf证明：时当时，1110f212f,)(;abxcxxg若，求实数m.简析：函数和不等式网络交汇处问题，用“待定系数法”沟通函数关系，由不等式放缩法完成证明；研究对称轴和区间的关系确定参数.（1）由题设，特殊赋值，,cf,cbaf,cbaf011解出，021120211fc,ffb,fffa，由题设易知，101111f,f,f，借助系数之间的关系表示，22121121112112111121112110011211121022222xxxxxxxxfxfxffffxffxfxg(2)研究对称轴aaa12122和区间关系，赋值.2,0,114222,1,122,21,13212aaaaaafaaaaf3圆锥曲线问题求解中的“待定系数法”例3设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。【解析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a∴abcaabac2222222105()解得：ab105∴所求椭圆方程是：x210＋y25＝1也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：bcacabc105222，更容易求出a、b的值。用心爱心专心118号编辑4【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.4数列探索性问题求解中的“待定系数法”例4是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn()112(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.（89年全国高考题）【解析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝16(a＋b＋c)；n＝2，得22＝12(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：abcabcabC2442449370,解得abc31110，于是对n＝1、2、3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn()112(3n2＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：假设对n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk()112(3k2＋11k＋10)；当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk()112(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝kk()112(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2＝()()kk1212（3k2＋5k＋12k＋24）＝()()kk1212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立.综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13＋23＋…＋n3、12＋22＋…＋n2求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n得Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(13＋23＋…＋n3)＋2(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)＝nn2214()＋2×nnn()()1216＋nn()12＝nn()112(3n2＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.5均值不等式求解中的“待定系数法”用心爱心专心118号编辑5例5.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【解析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。∴盒子容积V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，显然:15－x0，7－x0，x0设V＝4ab(15a－ax)(7b－bx)x(a0,b0)要使用均值不等式，则abaaxbbxx10157解得：a＝14，b＝34，x＝3，从而V＝643(154－x4)(214－34x)x≤643(1542143)3＝643×27＝576，所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝4ab(15a－ax)(7－x)bx或4ab(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。6导数和极限问题求解中的“待定系数法”.230xf200.623，，个根，它们分别为有上是减函数，且方程，上是增函数，在，在已知例dcxbxxxf⑴求c;