数学奥林匹克冬令营测试题D

12005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题D（李胜宏供题）学校姓名营员证号一.求证:nn[2003]|1,2,中有无穷多个平方数.二.求所有函数:fRR,在零点连续,且fxfyfxyfy(2())()()三.如果素数p和自然数n满足nnp43,证明:njnjpC20|()四.设ABCD为凸四边形,AC交BD于P，ABPBCPCDPDAP,,,的内心依次为IIII1234,,,.求证:IIII1234,,,四点共圆当且仅当四边形ABCD有内切圆.2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题D解答（李胜宏供题）1.求证:nn[2003]|1,2,中有无穷多个平方数.引理:2220031992xy有无穷多组正整数解.证明:首先有229200311992231.令009,1,31xyp.设(u,v)是xy2220031的一组正整数解,则若22220032(0,0)nnnnxypxy.令nnnnnnxuxvyyvxuy112003,,则nnnnxyuvxuvy22222222112003(2003)2003(2003)=nnxyp22220032显然.nnnnxxyy11,,故xyp22220032有无穷多组正整数解.引理得证.2取足够大的N,使得nN时,nxp23考虑nnnsyxp2003(2).2222222003(2)(2)(2)nnnnnsyxpxpxpnnnxppxpppxp422422()2()2(2)nnxppxp434()47nnnnnnxpsxpxppxpx4242342()()2()1(472)所以nnnxpsxp22()()1.nnsxp2[]()为完全平方数.证毕!2.求所有函数f:,在零点连续,且fxfyfxyfy(2())()()(*)解:令xffyfyfy0,(2()(0)()（1）ffffxfffxfff(2(0))2(0),(2(2(0)))()2(0)(2(0))fxffxf(4(0))()4(0)而fxffxfffxf(4(0))(2(0)0(0)()2(0)所以f(0)=0由(1)有f(2f(y))=y+f(y)(2)在(*)中令xfy()故f(f(y)=f(f(y))+y+f(y)再在(*)中令y=f(x)f(x+2f(f(x))=f(f(x))由(*)中f(x)为单射,故x+2f(f(x))=f(x),将x换成y,有fyyffy()(())2yfyffyffy()1(())(2())22(2')3(2((())2(())ffyffy(3)所以由(2)有f(4f(f(y)))=f(2f(2f(y)))=2f(y)+f(2f(y))=2f(y)+2f(f(y))=3f(y)+y另一方面f(4f(f(y))=f(2(y+f(y))=f(2y)+y+f(y)所以f(2y)=2f(y)(4)故由(*)及(4)有f(x+f(2y))=f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y)=f(x)+2f(f(y))=f(x)+f(f(2y))所以f(x+f(y))=f(x)+f(f(y))(5)于是,易知:f(kf(y))=kf(f(y))f(ky+y+f(y))=f((k+1)y)+f(f(y))=f(ky+f(f(2y)))=fyffyfky(2)((2))()2=fyffyfky2()2(())()2所以f((k+1)y)=f(ky)+f(y)f(ky)=kf(y)k当k时,亦有f(ky)=kf(y)(6)fffxxffxxfxx1((2()))((2())2())2(由(2'))fxfxfxxfxxfxfxxfx11((2())2())(()()2())()22fffxxfxffxxx((2()))()(2())所以f(x+y)=f(x+f(2f(y)y))(由(5))=f(x)+f(y)由于f(x)在零点连续,所以f(x)在所有点连续,故f(x)=cx(c为常数)解得c=1或124所以xfxxor()2经检验均满足条件.3.如果素数p和自然数n满足nnp43,证明:njnjpC20|().证明:引理:nniiniiiniininniiiCxxCCCxx[]2322201()(1)(1)引理的证明,只要证明niiiiikinninniniiCCCCCC[]232221()而nniiikikiininnininknkniiiCCCCCCCC[][]2222211=nkkiinnnknkniiCCCCC1(李善兰恒等式)=kknnCC2()(()1)引理证毕.对原命题:nniininniiCCxx4300()()(1)中nx的系数nnininniiiniininniiiCxxxxCCCxx[]23222211()(1)(1)((1)(1))nnniiiiiinniixxxCCC[]22222221(1)(1)nnniiniiiiinnniinniniiininiCCCCCCCinini[][]224222222233111()!(22)!()(!)(2)!(()!)因inpnininp,2故inini33(!)(2)!(()!)无素数因子p,而nPnini421()(22)333故nini,22中必有一数大于p,从而pnini|()!(22)!,故ninipinini33()!(22)!|(!)(2)!(()!),又niinninpnpCpC4202.|,|().证毕.4.设ABCD为凸四边形,AC交BD于I1I3I4aABCDxyzwPαbcd5P.ABPBCPCDPDAP,,,的内心依次为IIII1234,,,.求证:IIII1234,,,四点共圆当且仅当ABCD有内切圆.证明:先证明必要性.当IIII1234,,.四点共圆时,PIPIPIPI1324(1)设PA=x,PB=y,PC=z,PD=w.AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.APBrPI11sin2(r1为I1的半径)从而可知(1)rrrr132422sincos22rrrrrrrr1313242411()(1cos)11()(1cos)(2)xywzxyzxyzwzcwzcrrxyawzcxywz13sinsin()()()(),,1cosyzbyzbxwdxwdyzxw()()()()1cos故(2)acrrxywzxyzwbdrryzxwxyzw13241111(1cos)(1cos)1111(1cos)(1cos)xyzwacxyzwbd(3)设a+cbd,则xyzwacxyzwbd因为acbdacbdacbd222222()(),2()0故xyxywzzw22222cos2cosxwxwyzyzacbd2222(2cos2cos)2()06acbdxyzwxwyzxyzwxyzw2()2cos()(xyawzcyzbxwdxywzyzxw222222222222cos)2222acbdacbdxyzwxyzwyzxw2222222222222()()acbdacbdxyzwyzxwxyzwyzxw22()()由(3)式,有:acxyzwacyzzwxyzwbdxyzwbdyzxwxyzw1111111111它们均等于1,acbd.必要性证毕.充分性.由上述证明可以知道acbdrrrr1324()(1cos)()(1cos)rrrr13241111,从而(2)成立.得出IIII1234,,,四点共圆,证毕.