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数学奥林匹克初中训练题13这是我辛苦搜集来奉献给大家的第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.正整数1，2，…，2008中，能表示为形如n-m1-mn(m、n∈N+)的数的个数是().(A)2008(B)2006(C)2007(D)20042.已知a、b、c满足|2a-4|+|b+2|+23)b-(a+a2+c2=2+2ac.则a-b+c的值为().(A)4(B)6(C)8(D)4或83.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=12，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交C、AD于点E、F.过F作G∥BC交AC于点G.则FG的长为().(A)10(B)6(C)8(D)94.设m为整数.若关于x的方程mx2+(2-2m)x+m-4=0有整数解，则m的可能值有()个.(A)1(B)2(C)3(D)45.如图，五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2.在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小.则△AMN的最小周长为().(A)26(B)27(C)42(D)56.已知2n(n∈N+)能整除20072048-1.则n的最大值是().(A)12(B)13(C)14(D)15二、填空题(每小题7分，共28分)1.已知x为实数，0202x3-3x-0302=54.则280202x3+273x-0302=.2.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD=∠BCD=60°，∠CBD=55°，∠ADB=50°.则∠AOB的度数为.3.已知n为自然数，9n2-10n+2009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为.4.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=10cm，l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是cm.第二试一、(20分)设k为常数，关于x的方程x2-2x+2k-2x-x9k-3k22=3-2k有四个不同的实数根.求k的取值范围.二、(25分)已知O是△ABC的外心，∠BAC=45°，延长BC至D，使CD=21BC，AD∥OC.求∠ABC的度数.三、(25分)过年时，祖母给三个孙子压岁钱，总额400元.共有50元、20元、10元三种面额的纸币各若干张，供三个孙子选择，但每人只能拿同一种面额的钱，其中一人所拿钱的张数恰好等于另两人所拿钱的张数之积.问有多少种选择面额及张数的方式?数学奥林匹克初中训练题13参考答案第一试一、1.C.若n-m1-mn=1，整理得(m+1)(n-1)=0.解得m=-1或n=1.故当n=1，m1时，n-m1-mn=1.若n-m1-mn=2，整理得(m+2)(n-2)=-3=3×(-1).解得m=1，n=1.但m≠n，于是，n-m1-mn≠2.所以，2不能表示为形如n-m1-mn的数.若n-m1-mn=a(a∈Z，a2)，即mn-am+an-1=0.故(m+a)(n-a)=1-a2=(a2-1)×(-1).因此，m+a=a2-1，n-a=-1，即m=a2-a-1，n=a-1.显然，m≠n.当m=a2-a-1，n=a-1时，n-m1-mn=a.2.D.当b=0时，原等式化为|2a-4|+(a-c)2=0.解得a=c=2.所以，a-b+c=4.当b≠0时，b20，a≥3.故2a-4≥2.原等式化为2a-4+|b+2|+23)b-(a+(a-c)2=2，即|b+2|+23)b-(a+(a-c)2=6-2a.故6-2a≥0，即a≤3.所以，a=3.则|b+2|+(3-c)2=0.解得b=-2，c=3.所以，a-b+c=3-(-2)+3=8.3.C.在Rt△ABC中，由射影定理得AB2=BD·BC.所以，BD=4/3.故DC=BC-BD=32/3.由BF是∠ABC的平分线得AF/FD=AB/BD=3.则AF/AD=FDAFAF=34.因为FG∥CD，所以，FG/DC=AF/AD.故FG=8.4.B.原方程化为m(x-1)2=4-2x.显然，x≠1.则m(x-1)=1-x2x-4=-2+1-x2.已知m、x均为整数，则1-x2为整数.故x-1=±1，±2，即x=2，0，3，-1.相应地，m的值分别为0，4，-12，32.所以，m的值为0或4.5.B.如图，延长AB至P，使PB=AB;延长AE至Q，使EQ=AE.联结PQ分别交BC、DE于点M、N.则△AMN的周长最小，最小周长就是线段PQ的长.过P作PF⊥AE于F.易知∠PAF=60°，PF=23AP=3，AF=21AP=1.又AQ=2AE=4，则在Rt△PQF中，由勾股定理得PQ=27.在△APQ中，由余弦定理得cos∠APQ=27/7.故BMBC.所以，点M在线段BC上.同理，点N在线段DE上.6.C.令2007=a.则20072048-1=a2048-12=(102a+1)(92a+1)…(`12a+1)·(a+1)(a-1).而对于正整数k，有ka2+1≡k2(-1)+1≡2(mod4)，即a2k+1是2的倍数，不是4的倍数.而a+1是8的倍数，不是16的倍数，a-1是2的倍数，不是4的倍数，所以，n的最大值为10×1+3+1=14.二、1.2007.设x3+2020=a，2030-x3=b.则a+b=4050.由题意得ba=54①2ab=1134(ba)2=5184ba=72.②由式①、②解得a=63，b=9.2.80°.如图，过点C分别作AB、BD、AD的垂线，垂足依次为E、F、G.易得∠ABD=70°，∠CBD=∠CBE=55°，∠BDC=∠CDG=65°.因此，BC是∠DBE的平分线，CD是∠BDG的平分线.于是，CE=CF=CG.从而，AC是∠EAG的平分线.故∠AOB=∠CAD+∠ADB=80°.3.2007.设9n2-10n+2009=m(m+1)，其中，m为自然数.则9n2-10n+(2009-m2-m)=0.将式①看作关于自然数n的一元二方程，其判别式应为一个自然数的平方.不设为Δ=t2(t∈N)，则(-10)2-4×9(2009-m2-m)=t2.化简整理得(6m+3)2-t2=72233，即(6m+3+t)(6m+3-t)=72233.设6m+3+t=a，6m+3-t=b.则t=21(a-b).当a=72233，b=1时，t有最大值.此时，t的最大值为36116.又n=18t10，当t取最大值36116时，n取值最大，其值2007.4.20π.如图，以点O为圆心、10cm为半径作⊙O.过M作MN⊥l于点N，过O作l的垂线交⊙O于点Q1、Q2.联结PQ1.则MN∥OQ1，∠M=∠MOQ1.又因OM=OQ1，MN=OP，所以，△OMN△Q1OP.故∠OPQ1=∠ONM=90°.因此，点P在以OQ1为直径的圆上.同理，点P在以OQ2为直径的圆上.从而，蚂蚁P在1分钟的时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1、OQ2为直径的两个圆.移动的路程为2×10×π=20π.第二试一、令y=x2-2x-2k.则原方程化为(y+3k)(y+k-3)=0y=-3k或y=-k+3x2-2x+k=0①或x2-2x-k-3=0.②已知原方程有四个不同的实数根，因此，Δ1=(-2)2-4×1×k0，Δ2=(-2)2-4×1×(-k-3)0.解得-4k1.由y≠0，知k≠0或3.又因方程①与方程②的根不同，所以，-k≠k+3，即k≠-3/2.故k的取值范围是-4k1且k≠0和-3/2.二、如图，联结OA、OB，延长BO交AD于点E.由∠BAC=45°∠BOC=90°∠OBC=∠OCB=45°.由AD∥OCOE⊥AD，BO/OE=BC/CD=2∠ABE=21∠AOE=30°∠ABC=30°+45°=75°.记AD与⊙O的另一交点为A1，联结A1B、A1C.则有∠BA1C=∠BAC=45°.所以，△A1BC可为已知△ABC的另一种情形.又∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-45°-75°=60°，∠D=∠OCB=45°，故∠A1BC=∠CAD=∠ACB-∠D=15°.因此，∠ABC的度数为75°或15°.三、设三人所拿钱的张数分别为xy、x、y，面额分别为a元、b元、c元，x≥1，y≥1.则axy+bx+cy=400.(1)当a=b=c，即三人所选面额相同时，则xy+x+y=400/a，即(x+1)(y+1)=400/a+1.(i)若a=50，则(x+1)(y+1)=9=3×3.解得x=2，y=2.所以，三人中，每人选50元面额的张数分别为2，2，4.此时，有一种选择方式.(ii)若a=20，则(x+1)(y+1)=21=3×7.解得x=2，y=6.所以，三人选择20元有一种选择方式.(iii)若a=10，则(x+1)(y+1)=41.此时，x、y无正整数解.(2)当a、b、c中有两个值相等时，根据选择无顺序性，可分为a=b≠c，b=c≠a两种情形.当a=b≠c时，axy+ax+cy=400，即(ax+c)(y+1)=400+c(y+1≥2).(i)若a=50，c=20，则(50x+20)(y+1)=420，即(5x+2)(y+1)=42=7×6.解得x=1，y=5.此时，有一种选择方式.(ii)若a=50，c=10，则(50x+10)(y+1)=410，即(5x+1)(y+1)=41(质数).上式无正整数解.(iii)若a=20，c=50，则(20x+50)(y+1)=450，即(2x+5)(y+1)=45=9×5=15×3.解得x=2，y=4或x=5，y=2.所以，有两种选择面额及张数方式.同理可得:(iv)若a=20，c=10，无正整数解.(v)若a=10，c=50，有两种选择面额及张数方式.(vi)若a=10，c=20，有五种选择面额及张数方式.(3)当a、b、c两两不相等时，同理可得:(i)若a=10，b=20，c=50，有一种选择面额及张数方式.(ii)若a=20，b=10，c=50，有一种选择面额及张数方式.(iii)若a=50，b=10，c=20，无正整数解.综上选择面额及张数方式共有14种