数学奥林匹克高中训练题(54)及答案

数学奥林匹克高中训练题（54）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1．(训练题54)已知f(x)=).1lg()(,22122xxxgxx则乘积函数F(x)=f(x)g(x)在公共定义域的奇偶性为（B）．(A)是奇函数而不是偶函数(B)是偶函数而不是奇函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既非奇函数又非偶函数2．(训练题54)已知sina=x,cos11sin,cos,cos().0.142xya且、（，）则y与x的函数关系为（A）(A)21153111(1)141414yxxx(B)211531(01)1414yxxx(C)21153111(1)141414yxxx(D)211531(01)1414yxxx3．(训练题54)已知的△ABC三边长为a,b,c。若a1，b1，c1顺序成等差数列，则B（A）(A)必为锐角(B)必为直角(C)必为钝角不能确定(D)与a,b,c,的值有关4．(训练题54)如图1，有一容积为1的单位立方体容器ABCD—A1B1C1D1，在棱AB，BB1及对角线BC1的中点各有一个孔E，F，G．若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积为（C）(A)21立方单位(B)87立方单位(C)1211立方单位(D)4847立方单位5．(训练题54)已知平行直线x+y=2a+1与同心圆系x2+y2=a2+2a-3的交点为（x0,y0）。当x0y0取最小值时，a的取值为（C）(A)1(B)-3(C)222(D)2226．(训练题54)若a,b均为非零整数，且(a,b)满足方程x2-9xy+y2-9=0,则称（a,b）为方程的非零整数解。下面关于本方程非零整数解的判断中，为真命题的是（D）(A)非零整数解不存在(B)存在有限个非零整数解(C)存在无限个非零整数解，不在一，三象限。(D)存在无限个非零整数解，不在二，四象限。二、填空题1．(训练题54)已知21sinsin.sincos3xyyx则的最大值为49．2．(训练题54)如图2，四棱锥S—ABCD中，为了推出ABBC，还需从下列条件中选出一些来：①SBABCD面②SC,CD③CD∥AB④CD∥面SAB⑤BCCD⑥CD面SBC⑦AB面SBC⑧SBCD比如，选⑦为条件，有⑦,BCAB又如选③，⑤为条件，有35BCAB现要求推理至少用到两条定理，推理格式为．3．(训练题54)如图三，已知平面上的3条线段AB、AC、AD，现以AB、AC为邻边作平行四边形，对角线为AE，以AB、AD为邻边作平行四边形，对角线为AF，以AC、AD为邻边作平行四边形，对角线为AG，以AE、AD为邻边作平行四边形，对角线为AH，则有不等式ABACADAH__AEAFAG．4．(训练题54)从抛物线y=x2的顶点引两条互相垂直的弦OA,OB,作OMAB，则点M的轨迹方程为220xyy．5．(训练题54)已知an=6n+8n。则a84=2(mod49)．6．(训练题54)与正四面体4个顶点距离之比为1∶1∶1∶2的平面有32个．三．(训练题54)(20分)已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，f(21)=-1，且满足x,y∈(-1,1),有：f(x)+f(y)=f(xyyx1)。(1)证明：f(x)在(-1,1)上为奇函数；(2)对数列x1=21,xn+1=212nnxx,求f(xn)(3)证明恒等式1+f(51)+……+f(1312nn)+f(21n)=0．四．(训练题54)（20分）球场上的一个篮球在点光源的照射下，其阴影是一个椭圆。试讨论篮球与地面的接触点是否为阴影椭圆的焦点，并说明理由．五．(训练题54)（20分）已知实系数二次函数2()fxaxbxc，有0ck，且当cossinxi（为任意实数）时，()fxk．求证，对1r，有2()(21)frxrk．第二试一．(训练题54)（50分）如图4，延长凸五边形ABCDE的各边，在它的外部得五个三角形：△FAB，△GBC，△HCD，△KDE，△LEA．求证：这五个三角形外接圆的五个交点A1，B1，C1，D1，E1在同一圆上．二．(训练题54)（50分）某运动队的队员编号无重复取自正整数1到100。如果其中任一队员的编号都不是另两队员编号之和，也不是另外某一队员的2倍，问这个运动队最多有几个人？三．(训练题54)（50分）凸n边形（n≥4）玫瑰园的n个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况—它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形、……），每块区域都栽有一棵白玫瑰（或黑玫瑰）。（1）求出玫瑰园里玫瑰总棵数f(n)的表达式。（2）花园里能否恰有90棵玫瑰？说明理由。