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初中数学教学案例一清水二中单正礼题目：扇形中内接矩形最大面积的探究占用课时：1～2课时教学目的：1．知识：掌握有关三角公式，并能利用公式及其变形解决以三角函数为背景的一类实际问题中的最值。2．能力：通过灵活运用三角公式解决实际问题中的最值，提高学生分析、解决实际问题的能力；通过经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力；通过问题的解决，掌握解决问题的一些常用思想方法，培养学生的探索、创新精神和动手实践的能力；培养学生处理问题的最优化意识，增强学生可持续发展的能力。3．情感：通过营造宽松、和谐、民主的教学氛围，让学生积极参与数学学习活动，并在活动过程中获得成功的体验，建立自信心；通过对实际问题的研究，增强学生的环保意识、对资源合理运用的意识。体会数学与人类生活的密切联系，了解数学的价值，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。教学重点、难点：如何选择合适的角为变量，建立目标函数，并灵活运用有关三角公式求函数的最值。教学过程：（一）创设情境，提出具体问题在现实生活中经常遇到木材的“化圆为方”的问题(出示例1)。例1、把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法才能使横截面的面积最大?先请学生思考,这张图形该是什么样呢?要使截面面积最大,则显然矩形的四个顶点都要在圆周上。所以它应当是圆的内接矩形。(显示图1)接着教师用多媒体演示动画,随着矩形ABCD面积的变化,教师提问:你能猜想出结论吗?学生都能认识到,当圆内接矩形是正方形时,横截面面积最大。在此基础上,教师进一步提问：你能证明这一结论吗？为使学生顺利获得证明，教师做进一步的引导：要刻画面积变化的情况，应建立关于面积的目标函数。那么，这个函数的自变量应如何选择呢？同学们自己考虑一下。学生：可选择矩形的一边长AD作为自变量来建立目标函数。教师：很好！你能试着解解吗？学生进行分析教师总结：其实要证明矩形ABCD为正方形时，其面积最大。从几何直观的角度来看是显而易见的。要使矩形ABCD的面积最大，就要使三角形ADC的面积最大，而三角形ADC的底边AC是定长2R，故要使点D离开AC的距离最大，此时D应是弧的中点，从而矩形ABCD是正方形。上述几种解法相比较而言，显然几何法最简捷，但并不是所有的结论都能从几何直观中看得出来的。三角法要比代数法简捷。在数学中，我们经常会遇到以三角为自变量的函数，从角出发研究有关问题，常常比从线段出发研究更为方便。下面再来看几个最值的应用问题，探讨如何利用三角这一工具解决问题。（二）深化问题，发散推广引伸若我们将例1的圆换成半圆，则有了下面的问题（屏幕显示）。例2．把一段半径为R的半圆形木材，锯成横截面为矩形的木材，怎样锯法才能使横截面的面积最大？先画出示意图：教师：又是锯木，老调重弹，不免缺少新意。另外锯木过多，必然伐木不少，这样会造成森林面积的减少，会出现水土流失等问题，从而严重破坏生态平衡。为此我们将例2作些改造：例2、如图2,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B、Ｃ落在半圆的圆周上。已知半圆的半径为Ｒ，如何选择关于点Ｏ对称的点Ａ、Ｄ的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？这样来处理要比伐木有意义多了，这也是个实际问题，内容是规划一块绿地，与同学们的生活直接相关，并注意到了环境保护的问题。教师：求最大值当然要涉及变量与函数，我们可以选择一条边（如OD）为自变量来列出目标函数，不过这种解法显得较繁。于是我们还是选择一个合适的角作为自变量，到底选择哪个角呢？学生：不是，若选择为变量，此时矩形边长与这个角的关系很难寻找。教师：确实如此。本题与上题稍有些不同。如对角线AC，在上题中，它的长度始终不变，但在本题中，矩形的对角线AC随着矩形的变化而变化。教师继续引导：比较理想的情况如上题，选择直角三角形中的一内角作自变量，且这个直角三角形有一边长为定值。为此，我们仔细看看这个矩形中有没有一些重要的不变量？学生：有，点C离开O点的距离始终不变。如果我们将半圆通过补体，不难发现，例1与例2的实质是一致的。当然结论相同，也就不足为奇了（教师演示一下补体过程）。我们要善于利用变化联系的观点来看问题。若我们把半圆改成扇形，则又变成了如下的问题（屏幕展示例3）：例３、（1）如图3，已知半径为Ｒ，圆心角为６0°的扇形OMN，求一边在半径OM上的扇形内接矩形ABCD的最大面积及面积最大时点C的位置。（2）如图3，扇形MON的圆心角为45°，半径为R，矩形ABCD内接于扇形，求矩形面积的最大值及面积最大时点C的位置。以上两题先让学生任选其中一题来做，然后师生共同交流。课后学生的拓展作业：本节课是三角函数知识在解决最值问题上的一个实际应用。请设计一个与上述类似的三角函数的应用问题作一番深入的探究。教学效果：学生对本节课表现出极大的兴趣，课堂效果较为理想，达到了预期的效果，课后学生反响颇为强烈。现简单摘要如下几点：(1)自主实验探究使我们的认知方式产生了质的飞跃，变被动学习为主动探究。(2)通过讨论、实验，使我们学会了相互合作、交流，这样的学习方式，不仅有利于提高团结协作精神，更有利于创新精神的培养。(3)本节课先从木材的“化圆为方”问题引入，在此基础上我们积极参与、主动探究，随着问题层次的深入，使我们在获得数学知识的同时，学到了摄取知识的方法，逐步形成发现、探究、解决问题的策略，并在问题解决过程中感悟到探索的价值。通过递进变式问题的设置，使我们的思维得到升华，进一步发展了创造性思维。初中数学教学案例二清水二中单正礼题目：探索平行线的性质一、主题分析与设计本节课是直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。二、教学目标1、知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。2、数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。3、解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。4、情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。三，教学重、难点1、重点：对平行线性质的掌握与应用2、难点：对平行线性质1的探究四，教学用具1、教具：多媒体平台及多媒体课件2、学具：三角尺、量角器、剪刀五、教学过程（一）创设情境，设疑激思1、播放一组幻灯片。内容：①供火车行驶的铁轨上；②游泳池中的泳道隔栏；③横格纸中的线。2、提问温故：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？3、学生活动：针对问题，学生思考后回答——①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；4、教师肯定学生的回答并提出新问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？从而引出课题：7.2探索平行线的性质(板书)（二）数形结合，探究性质1、画图探究，归纳猜想教师提要求，学生实践操作：任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角。（统一采用阿拉伯数字标角）教师提出研究性问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：第一组第二组第三组第四组同位角角的度数数量关系教师提出研究性问题二：将画出图中的同位角任先一组剪下后叠合。学生活动一：画图----度量----填表----猜想学生活动二：画图----剪图----叠合让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想：两直线平行，同位角相等。教师提出研究性问题三：再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立？学生活动：探究、按小组讨论，最后得出结论：仍然成立。2、教师用《几何画板》课件验证猜想，让学生直观感受猜想3．教师展示平行线性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）（三）引申思考，培养创新教师提出研究性问题四：请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么关系？学生活动：独立探究----小组讨论----成果展示。教师活动：评价学生的研究成果，并引导学生说理因为a∥b（已知）所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）又∠1＝∠3（对顶角相等）∠1+∠4＝180°（邻补角的定义）所以∠2＝∠3（等量代换）∠2+∠4＝180°（等量代换）教师展示：平行线性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）平行线性质2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）（四）实际应用，优势互补1、（抢答）课本P13练一练1、2及习题7.21、52、（讨论解答）课本P13习题7.22、3、4（五）课堂总结这节课你有哪些收获？1、学生总结：平行线的性质1、2、32、教师补充总结：⑴用“运动”的观点观察数学问题；（如我们前面将同位角剪下叠合后分析问题）⑵用数形结合的方法来解决问题；（如我们前面将同位角测量后分析问题）⑶用准确的语言来表达问题；（如平行线的性质1、2、3的表述）⑷用逻辑推理的形式来论证问题。（如我们前面对性质2和3的说理过程）初中数学教学案例三清水二中单正礼题目：一元一次不等式教学我在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想：……例题：在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下表所示：船型每只船载人数租金大船53元小船32元请你帮助设计一下：怎样的租船才能使所付租金最少？（严禁超载）……师：谁能公布一下自己的设计方案？（学生都在紧张的思考中）（突然间，我发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。也有了我思想上的一次飞跃。）生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！（这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，我赶紧制止。）师：很好！你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢？生：（一下子来劲了）：如果租大船，则需要船只数为48/5=9.6只，因为不能超载，所以租大船需10只，则所付租金要3×10=30元。如果租小船，则需要船只数为48/3=16只，则所付租金要16×2=32元。如果既租大船又租小船……（说到这里，该生卡了壳）（我边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话）师：刚才×××同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴（教室里响起一片掌声）。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。（在师生的共同研讨中得出）：设租用X只大船，Y只小船，所付租金为A元。则：5X+3Y=48A=3X+2Y得到：A=1/3X+32因为：0＜5X＜48且X为正整数所以：X=9时，A最小值=29即租用9只大船和1只小船时，所付租金最少，最少租金为29元。此时有45人（5×9）坐大船，有3人坐小船。……师：今天的课程内容还有一项，那就是请×××同学（示意刚才的同学）谈谈这堂课的感想。生：……以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以一下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……理念反思：从这一个学生的举手发言到说得头头是道的“意外”中，我明白了：学生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自由的民主的氛围，能充分培养学生的自信，使“学困生”也能产生发言的欲望，也能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点，给每一位学生都有展示的机会。也就是说要使学生全部积极参与教学，因为它集中体现了现代课程理念：活动、民主、自由。1、民主是现代课程中的重要理念。民主最直接的体现是在课程实施中学生能够平等地参与。没有主动参与，只有