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数学定理学习过程及学案设计成都市龙泉驿区教育研究培训中心王富英定理，是构成数学大厦的骨架，数学中重要的思想方法都是隐含在定理的发生、发展和形成过程与应用之中的，所以，定理学习是数学学习的主要内容。而弄清数学定理学习的过程和如何进行定理学习学案的设计，是提高定理学习的关键，但目前对这些问题的研究还很薄弱。一、数学定理学习的过程分析数学定理学习一般为定理的发现、定理的确定、定理的挖掘、定理的应用和定理图式的构建五个环节．1．定理的发现定理的发现是指向学生提出一些供研究、探讨的素材，并作必要的启法引导，让学生在一定的情境中通过独立地观察、实验、计算、分析、类比、归纳、猜想等步骤发现定理的过程．弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出，数学教学是一种数学活动的教学．教师要引导学生主动参与，积极思维，在活动中获取知识．弗赖登塔尔指出“将数学作为一种活动来进行解释和分析”，“设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现那些成果的；或者设想一个学生学习过程得到指导时，它是怎样发现的”[1]．波利亚在《数学的发现》中也指出：“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”[2]．具体学案设计时，设计者精心设计问题情景，让学生在一定的情境中独立进行思考，通过试验操作、观察分析、类比归纳等学习活动，自主探索规律，建立猜想去发现定理．发现定理的方法主要有以下几种：（1）用观察、实验的方法提出定理．这是指在学案的设计中，设计者提供材料，引导学生通过实践操作、观察思考去发现定理．这里有两种提出定理的方法：一是观察模型或者试验提出定理．例如，在学习平面与平面平行的判定定理时，让学生观察长方体模型AC′．平面ABCD内两条相交对角线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交对角线A′C′，B′D′平行，根据直线与平面平行的判定定理可知．相交直线AC，BD与平面A′B′C′D′平行，此时，平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，从而提出定理．二是通过试验发现并提出定理．如，学习直线与平面垂直的判定定理提出定理时，可设计如下实验：请学生准备如图1所示的三角形纸片，并作实验：过⊿ABC的顶点A沿AD翻折后竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，观察折痕AD与桌面垂直吗？思考：如何翻折才能使折痕与桌面所在平面a垂直？通过再次实验容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，折痕所在的直线与桌面所在的平面a才垂直（图2，图3）．在此基础上可直观地提出直线与平面垂直的判定定理．(2)用归纳、类比的方法发现定理．拉普拉斯指出“在数学里发现真理的主要工具也是归纳与类比”[3]．数学中的许多定理都是用归纳类比发现的．让学生也经历这样的发现过程，既是提出定理的有效方法，也是培养学生的归纳类比能力、提高探索创新能力的重要途径．因此，在学案设计中，对归纳类比的方法要予以高度的重视．例如，在韦达定理学习中，就可以采用观察、归纳的方式，让学生自己去发现这个定理．首先，举一些具体的一元二次方程实例，让学生先求出这些方程的根，然后引导学生观察方程的两根之和、两根之积与方程的系数之间有何关系？通过一定量的重复和想象，学生不难发现定理中的关系并提出猜想．(3)创设实际生活情境提出定理．为了解决一些现实生活和生产实践中的问题，有时需要运用“数学化”的方法，而这种“数学化”的方法往往会产生出很有用处的定理．因此，依据实际问题的需要，以问题的形式去探求定理，也是常用的提出定理的方式．例如，在学习相似三角形的性质定理时，可以设计在再一次野外实习中，遇到了一条河，需要测得河的宽度，但在河的一边只有较小的一块地方无法用到前面学习的全等三角形的知识解决，但可以选择几点构造两个相似三角形，这时提出问题；“能否根据相似三角形求出河的宽度呢?”使学生产生获得研究相似三角形性质的需要，从而引导学生去探究得出相似三角形的性质定理．(4)制造困难，激发探究欲望提出定理．例如，学习“直线与平面垂直的判定定理”时，由于只学习了直线与平面垂直的定义．要判定直线与平面垂直也只有定义可用，但由定义去判定直线与平面垂直则需要判定直线与平面内的任意一条直线垂直，这会给具体判定带来困难，于是提出问题“能否有简单一些的判定方法呢？”从而激发例如学生的探究欲望和学习兴趣，急切渴望对简单一些的aDCBA图3DCBA图1DCBA图2判定定理的寻求．除了上述几种常用的提出定理的设计方法外，还可以从概念定义出发，结合图形，运用已知公理、定理进行推理去导出命题；也可以从已知定理出发，运用命题之间的关系，构造其逆命题、否命题或逆否命题，得到新的命题．总之，在定理学习学案设计中，要根据定理内容，结合学生的具体情况，灵活恰当地设计定理提出的方式，这对于学生理解和掌握定理是十分有益的．2.定理的确定定理提出后，学习的焦点转向对定理的确定．定理确定的过程就是定理证明的过程．定理证明的方法有两种：一是严格的演绎证明，二是“类属性证明”（参加本章第一节中命题的确定）．但谈到定理证明除个别情况外，一般都指演绎证明．演绎证明属于解题学习，因此，可以运用解题学习的基本理论与方法(读者可参见第七章第二节“解题学习学案的基本理论”)．定理证明的关键在于探求证明的思路．在定理学习学案设计中要做好以下几方面的工作．（1）注意对定理证明的思路分析首先，引导学生分清定理的条件与结论，要求学生能用文字语言和符号语言将其表述出来，这是定理证明的基础．对于一些简化式的定理，其条件与结论不是十分明显，初学者难以掌握，学案设计时应恢复成命题的标准形式：“若p则q”．例如“对顶角相等”，应完整地叙述为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．并结合图形进一步符号语言：“若∠α、∠β是对顶角，则∠α=∠β”．对于含有多个结论的合取式定理，在教学的初始阶段最好把它按结论的个数分解为几个定理分别处理．例如，梯形的中位线定理“梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半”，可将其分解为“梯形的中位线平行于两底”和“梯形的中位线长等于两底和的一半”两个定理．第二，要分析定理的证明思路，让学生掌握证明的方法．学案设计时宜采用以分析法引导学生探索证明途径，用综合法表达证明过程，长此训练，使学生养成“执果索因”与“由因导果”的思维习惯．（2）注意定理的多种证法．对一个定理采用多种证明方法，不仅可以开拓学生的思路，训练思维能力，而且还能使学生从多个层面、多种维度把握命题，丰富和深化对定理的理解．运用多种方法证明一个定理，一般有两种处理方式．一种方式是在学习该定理时，同时采用两种或多种方法去进行证明，但考虑到教学时间的限制，可以以一种证明为主，另外的证明方法用“想一想”的方式引导学习自己去探究完成．另一种方式是利用所学的新命题，返回去证明以前已学过的旧命题，这样，对旧命题而言就体现了“一题多证”，更重要的是，这种方式还能帮助学生找出新旧知识间的联系，形成良好的知识体系．例如，学习“勾股定理”，可以采用构造图形方法，利用面积关系来证明．在学习了相似三角形的内容之后，可利用“射影定理”返回去再证明勾股定理．3.定理的挖掘在定理获得证明后，为了对更进一步的理解和把握定理，需面对定理做一些逗留，用宁静的心态进行审视和剖析，以充分认识定理的价值和作用．定理的挖掘主要有两个方面：一是建立定理域与定理系；二是数学思想方法和规律的揭示．（1）建立定理域与定理系．定理域属于命题域，根据命题域的含义[4]，定理域的含义是：①是指个体头脑中的定理网络，是个体数学认知结构的组成部分；②定理网络中的所有定理在逻辑意义上都是等价的；③定理域是定理网络在个体头脑中的储存方式，因而与定理网路的组织形式有关；④定理域中典型定理往往构成定理网络的核心，是个体在应用定理时最容易提取的因素．如果一组定理12,,,nAAA存在推出关系（广义抽象）：12nAAA揶?，则称为一条定理链．如果m条定理链中的每一条都至少与其余一条相交（交集非空），那么就称这m条定理链组成的系统为半等价定理网络．一个半等价定理网络的图式称为定理系．显然，定理系是定理域的推广，定理域往往是某个定理系的子图式．有些定理它们之间没有直接的推出关系，但它们之间具有某些相似或类似的潜在联系．如不等式的有关定理与等式的有关定理之间，平面的有关定理与空间的有关定理之间都有潜在的关系．一般地，称这种有潜在关系的定理网络的图式为广义的定理系．由此可知，定理域与定理系的建立，可使定理系统化、结构化和网络化．数学定理的系统化、结构化与网络化有利于完善学习者对定理学习的认知结构，对于学生理解、记忆和灵活运用定理具有十分重要的作用．在学案设计中，定理域与定理系的建立可从以下四个方面进行：第一，引导学生探究定理的一系列推论（特殊化），建立定理链；第二，引导学生探究定理是否有逆定理；第三，引导学生探究定理的各种变化形式与等价形式；第四，引导学生揭示相关定理之间的联系并进行归类整理．对定理的整理应从纵、横两个方向进行．纵的方向按逻辑关系整理，横的方向按命定理的用途归类，这样就把新学习的数学定理与其相关的知识联成网络，在应用时就能使相关的知识发挥其各自的作用，同时还能体现出定理的整体功能．例如，直线方程的几种形式可以在直线的一般式方程中得到统一，教学中应当揭示这种内在的统一性，同时还要指出各种形式的方程的不同用途．(2)数学思想方法的揭示．一个数学定理的产生，本身就包含着一定的思想和方法．在定理学习的学案设计中，教师应当引导学生揭示隐含于数学表层知识之中的数学思想方法，这对于发展学生的数学能力、提高数学素养是十分有利的．具体设计时可用提问的方式引导学生挖掘．如，定理证明中含有何种数学思想方法？定理证明的方法是否具有一般性？是否可用于解决其它问题或其它类似的问题？证明这类问题的一般规律是什么？等等．4.定理的应用一般而言，数学中的定理等都是包摄程度较高的命题，应用它们可以解决众多的数学问题．同时，定理的应用又是训练学生的逻辑推理能力、发展学生思维能力的必由之路，因而定理的应用是定理学习中必不可少的重要环节．具体地说，在定理的应用中，要注意安排好各类习题，既有基本训练题，又有巩固知识的题型，还要有综合型的题目．另外还应适当地补充一些逆用、变用定理的例题或习题，以培养学生活用、逆用命题的能力．5.定理图式的构建定理的图式与公式的图式完成类似，读者可参阅本章第三节中的相关内容．二、定理学习学案的案例与点评定理学习学案的结构与公式学习学案的结构完全类似，这里不再赘述．下面通过分析点评具体定理学习学案，对定理学习学案设计的方法加以说明案例“直线与平面垂直的判定定理”学案及点评【内容分析】直线与平面垂直的判断是人教版新课标教材《数学A版必修2》第二章“直线、平面垂直的判断及其性质”第一节的第一个定理．本节课含有两个知识点:一个是直线与平面垂直的定义，另一个是直线与平面垂直的判断定理．由于直线与平面垂直判断定理证明的难度较大，教材没有要求对定理进行证明（原来的教材对定理进行了证明），这样降低了大家学习的困难．直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况．直线与平面垂直的判定又是后面研究平面与平面垂直的重要依据，因此，它在研究线面关系和面面关系中具有重要的地位与作用，同学们必须认真学好这个定理．点评：【内容分析】简述了本节内容在教材中的地位和作用，使学生对该节内容事先就有一个大致了解和整体认识，同时也使学生认识到本节内容在今后学习中的价值，可激发学生学习的求奇欲、求知欲和求识欲．【学习目标】1.能通过实验获得直线与平面垂直的概念；能举例说明直线与平面垂直定义中的关键字词的作用；2.能用实验获得直线与平面垂直的判定定理，能用文字语言、符号语言和图形语言准确表述判定定理；3.能运用判断定理证明一些简单的线面垂直问题；4.通过经历线面垂直的定义和判断定理的形成过程，加深对“转化”思想的认识，掌握将空间问题转化为平面问题解决的基本方法．【学习重点、难点】直线与平面垂直的定义和判定定理．【学习过程】一、学习准备1.空间两条直线有几种位置关系？；2.在空间，直线与平面的位置关系有几种？；3.在平面内，到线段两个端点距离相等的