数学实验教程_实验4_一元函数积分学_

实验4一元函数积分学实验目的1．加深对定积分定义的理解2．掌握求一元函数积分的计算方法3．求解定积分的应用问题实验准备1．定积分的定义及几何意义定义：01()lim(),max{}nbiiiaifxdxfxx；几何意义：曲边梯形的面积。2．牛顿-莱布尼茨公式基本公式：()()()xaFxFaftdt3．定积分的数值计算矩形法，梯形法，辛普森法。4．定积分的几何应用计算面积、弧长、体积。实验内容1．定积分的定义、几何表示与计算2．定积分的数值计算3．定积分的几何应用软件命令表4-1Matlab一元函数积分命令函数名称调用格式说明symssyms变量名1，变量名2,…定义符号变量symsym('x',…)定义符号变量intint(f(x),x)求不定积分()fxdxintint(f(x),a,b)计算定积分()bafxdx实验4一元函数积分学-25-quadq=quad(fun,a,b,tol,trace)计算定积分()bafxdx实验示例【例4.1】定积分定义的几何演示定积分0sinxexdx与其积分和的关系。【原理】：依据定积分的定义：001sinlimsin,max{}inxiiiiexdxexx【步骤】：【Step1】：将区间[0,pi]分成n等份即取inx，取每个区间右端点为i，并计算积分和1()sininiiSnen；【Step2】：画出被积函数()sinxfxex的图形和S(n)所表示的面积；【Step3】：改变n，重复Step1和Step2。【程序】：参见Exm04Demo01.m。【输出】：见图4-1。图4-1定积分的定义【例4.2】不定积分的计算计算下列不定积分：（1）4sin3xexdx；（2）lnxxdx；（3）sin3xxdx；-26-第一章基础实验（4）2ln(1)xxdx；（5）21413xdxxx；（6）2sin2sincosxdxxx.【命令】：symsx;int(exp(4*x)*sin(3*x),x)int(x*log(x),x)int(x*sin(3*x),x)int(log(x+(x^2+1)^(1/2)),x)int((x+1)/(x^2+4*x+13),x)int(sin(2*x)/(sin(x)^2+cos(x)),x)【例4.3】定积分的计算计算下列定积分：（1）0bxbdxxa；（2）411xdx；（3）340tand；（4）12036dxxx；（5）202sindxx；（6）20sinnnIxdx；（7）210xedx.【命令】：symsxabn;int((x-b)/(x+a),0,b)int((1+x)^(1/2),1,4)int(tan(x)^3,0,pi/4)int(1/((3+6*x-x^2)^(1/2)),9,1)int(1/(2+sin(x)),0,pi/2)int(sin(x)^n,0,pi/2)int(exp(-x^2),0,1)注意：为了获得数值结果，可以使用double(int(…))命令。【例4.4】定积分的近似计算利用矩形法、梯形法和辛普森法近似计算定积分210xedx。【原理】：【矩形法原理】：实验4一元函数积分学-27-11((1))(),nniibaShfaihShfaihhn或者；【梯形法原理】：()()21(),nfafbibaShfaihhn；【辛普森法原理】：2221221()4()(),3MbakkkMkhSfxfxfxh；【步骤】：【Step1】：将区间[a,b]进行n等分或者2M等分；【Step2】：利用上述公式进行计算【程序】：参见程序Exm04Demo04.m。【输出】：三种方法的输出结果分别为：0.77782，0.74621，0.74682。【例4.5】变上限定积分计算20()sin,()xfxtdtfx，并画出函数(),(),sinfxfxx的图像。【步骤】：【Step1】：计算(),()fxfx；【Step2】：根据【Step1】的结果绘制图形。【程序】：%计算clearsymstx;f=int(sin(t),0,x^2);df=diff(f,x);%绘图holdonfplot('-cos(x^2)+1',[06],'r')fplot('2*sin(x^2)*x',[06],'b')fplot('sin(x)',[06],'g')holdoff0123456-15-10-5051015图4-2【例4.6】积分中值定理与微分中值定理的比较-28-第一章基础实验设函数0()cos3,[0,]xFxttdtx，试比较Lagrange微分中值定理和积分中值定理的异同。【原理】：【Lagrange微分中值定理】：()()(),(,)fbfafabba【积分中值定理】：()()()bafxdxbaf【步骤】：【Step1】：显示微分中值定理的几何意义(1)解方程()(0)()0FFFx；(2)绘制图形【Step2】：显示积分中值定理的几何意义(1)解方程()cos(3)Ftt(2)绘制几何图形【程序】：参见Exm04Demo06.m【结论】：对于连续函数而言，它们说明的是相同的事实。实验4一元函数积分学-29-实验练习1．计算下列积分：（1）41lnxdxx；（2）3lnxxdx；（3）2111lnedxxx。2．求星形线33cos0t2sinxatyat，所围成图形的面积。3．求曲线0tanxtdt相应于04x的一段弧长。4．求由曲线4sin,xyxy所围成的图形分别绕,xy轴旋转所成立体的体积。5．试举例验证结论：设()fx是区间[,]ab上连续的正函数，那么1[,]lim()max()bnnanxabfxfx，1[,]lim()min()bnnanxabfxfx.即选取充分大（小）的n，观察相应的积分值与函数最大值和最小值的关系。