数学实验方程模型及其求解算法参考答案(免积分)

实验2方程模型及其求解算法一、实验目的及意义[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法；[2]掌握迭代算法；[3]熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；[4]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。二、实验内容1．方程求解和方程组的各种数值解法练习2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。四、实验要求与任务基础实验1．用图形放大法求解方程xsin(x)=1.并观察该方程有多少个根。画出图形程序：x=-10:0.01:10;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB运行结果：-10-8-6-4-20246810-8-6-4-202468扩大区间画图程序：x=-50:0.01:50;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB运行结果：-50-40-30-20-1001020304050-50-40-30-20-1001020304050由上图可知，该方程有偶数个无数的根。2．将方程x5+5x3-2x+1=0改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。（1）画图：x1=-6:0.01:6;x2=-3:0.01:3;x3=-1:0.01:1;x4=-0.8:0.01:-0.75;y1=x1.^5+5*x1.^3-2*x1+1;y2=x2.^5+5*x2.^3-2*x2+1;y3=x3.^5+5*x3.^3-2*x3+1;y4=x4.^5+5*x4.^3-2*x4+1;subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('子图(1)'),gridon,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('子图(2)'),gridon,subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('子图(3)'),gridon,subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('子图(4)'),gridon,由图可知x的初值应在（-0.78，0.76）之间。（2）解：第一步构造迭代函数()xfx1()xfx32121555xxxx2()xfx32521xxxx3()xfx第二步利用加速迭代收敛法变形后：534241012515xxxxx1()xfx62352435322xxxxxxx2()xfx25328561xxxxxx3()xfx第三步迭代设定初值00.75x1()nnxfxn=0,1,2,3………用MATLAB编程x=-077;y=-0.77;z=-0.77;fork=1:30x=(-4*x^5-10*x^3+1)/(2-5*x^4-15*x^2);y=(2*y^6+4*y^2-3*y)/(5*y^3+3*y^5+2*y-2);z=(8*z^2-2*z)/(z^5+5*z^3+6*z-1);x,y,z;end迭代结果为：x=-61.5948y=-0.7685z=-0.7687x=-49.2694y=-0.7685z=-0.7685x=-39.4074y=-0.7685z=-0.7685x=-31.5158y=-0.7685z=-0.7685x=-25.2000y=-0.7685z=-0.7685x=-20.1442y=-0.7685z=-0.7685x=-16.0957y=-0.7685z=-0.7685x=-12.8521y=-0.7685z=-0.7685x=-10.2512y=-0.7685z=-0.7685x=-8.1634y=-0.7685z=-0.7685x=-6.4844y=-0.7685z=-0.7685x=-5.1311y=-0.7685z=-0.7685x=-4.0373y=-0.7685z=-0.7685x=-3.1508y=-0.7685z=-0.7685x=-2.4323y=-0.7685z=-0.7685x=-1.8546y=-0.7685z=-0.7685x=-1.4028y=-0.7685z=-0.7685x=-1.0737y=-0.7685z=-0.7685x=-0.8700y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7840y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7689y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685x=-0.7685y=-0.7685z=-0.7685因此方程的解为-0.7685.3．求解下列方程组121212222123121312312(1)25712(2)31102400xxxxexxexxxxxxxxxxx(1)程序：[x1,x2]=solve('2.*x1-x2=exp(-x1),-x1+2.*x2=exp(-x2)')MATLAB运行结果：x1=.56714329040978387299996866221036x2=.56714329040978387299996866221036（2）程序[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12,3*x1*x2+x1*x3-11*x1,2.*x2*x3+40*x1')MATLAB运行结果：x1=0.0.0.0.1.-387.00943364216191174841684720677+32.703483593366328482166316712807*i-387.00943364216191174841684720677-32.703483593366328482166316712807*i-.31446604900950983649963891979635x2=-1.54919333848296675407170615991301.54919333848296675407170615991300.0.5.-.31228791210131965952830872704551-50.806549482970160848437610559089*i-.31228791210131965952830872704551+50.806549482970160848437610559089*i2.9579091575359726523899507874243x3=0.0.1.3093073414159542875965849124937*i-1.3093073414159542875965849124937*i-4.11.936863736303958978584926181137+152.41964844891048254531283167727*i11.936863736303958978584926181137-152.41964844891048254531283167727*i2.1262725273920820428301476377270直接使用MATLAB命令：solve()和fsolve()对方程组求解。4．迭代以下函数，分析其收敛性。任选一个完成。使用线性连接图、蛛网图或分枝与混沌图对参数a进行讨论与观察，会得到什么结论？选择2）线性连接图：源代码：a=0.5;x=[];x(1)=0.5;fori=2:20x(i)=a*sin(x(i-1));endn=1:20;subplot(2,2,1),plot(n,x),title('a=0.5,x0=0.5')图：0510152000.10.20.30.40.5a=0.5,x0=0.5应用实验（以下四个问题，至少完成一个）1．油价与船速的优化问题;)()3);sin()()2;)()()142axxfxaxfaxaxf油价的上涨，将影响大型海船确定合理的航行速度，以优化航行收入。直观地，油耗的多少直接影响船速的快慢，因而直接影响航行时间的长短，进而影响支付船员人工费用数量。过去有一些经验表明：(1)油耗正比于船速的立方；(2)最省油航速的基础上改变20%的速度；则引起50%的油耗的变化。作为一个例子：某中型海船，每天油耗40吨，减少20%的航速，省油50%、即20吨。每吨油价250美元，由此每天减少耗油费用5000美元，而航行时间的增加将增加对船员支付的费用的增加，如何最优化?算例：航程L=1536海里，标准最省油航速20节，油耗每天50吨，航行时间8天。最低航速10节，本次航行总收入为84600美元。油价250美元/吨，日固定开支1000美元。试确定最佳航速。2.炮弹发射角的问题炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。进一步思考：如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。3.小行星的运动轨道问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位。在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如下表：12345x5.7646.2866.7597.1687.408y0.6481.2021.8232.5263.360请确定该小行星绕太阳运行的轨道，并且画出小行星的运动轨迹。4．GPS全球定位系统是一个基于卫星的导航系统。其原理如下：有30个卫星绕地球运行。任何时刻他们都知道自己的准确位置，每隔几秒种，所有卫星都同步地发出表明自己准确位置的信号