数学建模对汽车保险问题的研究

1对汽车保险问题的研究摘要汽车保险的基本保险费与政府政策和保险公司的盈利目标与运作方式密切相关。我们忽略了自然因素和人为因素对其的影响，经查阅相关资料，运用人口阻滞模型和泊松分布，建立了相应模型。我们还了解到了中国汽车保险业的相关规则：在被保人从保险公司得到过赔偿之后将不能退保，即为注销人数等于死亡司机人数和自然退保人数之和。基于此，我们首先利用Venn图梳理此公司投保人类别的关系，同时利用已知数据，对此公司的四类投保人的人数以及各项费用建立了相应的数学表达式，确定了安全带法规实施后的续保人数，注销人数，索赔人数，死亡司机人数及修理费，医疗费，赔偿费等费用。从而可以计算出偿还退回的金额，以及总赔偿费。进一步，我们还了解到，中国的汽车保险费用由净保费和附加保费两部份构成，附加保费用于支付保险公司的营业费用，这部分费用可假定不变。我们假设公司的运营状况正常，即收支平衡，从而建立了颁布安全带法规之后该公司的总保险费的表达式，进而可计算出基本保险费金额。在下一年度医疗费下降20%~40%的条件下，我们计算出基本保险费的金额幅度为：677~623。由于政府的期望与保险公司的利益有一定冲突，在医疗费下降幅度确定为20%和40%的情况下，我们假定保险公司利益不变，基于此条件下，将相关模型运用C语言函数计算，我们得到在安全带法规实施后的五年里，每一年的基本保险费金额依次为677、676、675、675、674；623、622、622、621、621。我们没有考虑保险公司自身运作方式和社会交通状况的发展，物价的变化以及众多偶然的和难以调和的因素对模型的影响，分析了动态中的静态情况，即只考虑了新投保人数的人口阻滞模型和投保人索赔概率的泊松分布对此模型的影响，在一定意义上对公司未来的基本保险费进行数学估算。本模型对理想状况的分析和研究具有一定参考价值，但在应用于实际问题时，需整合更多的实际因素和市场信息，在较为准确的市场预测和估算的基础上，可得出对政府和公司具有建设性意义的结论和理论指导。关键词：基本保险费人口阻滞模型泊松分布医疗费2一、问题重述有保险公司提供一年期车保业务，客户分0，1，2，3四类，若此年无赔偿要求，则按类别给予相应补助，并在下一年续保中，提升一个类别。否则直降两个类别，直至0类。新客户为0类，若客户中途推出保险，则无论何种情况，均退还保险金适当部分。政府将于下一年实施安全带法规，则受伤司机和乘员将会减少，进而医疗费减少，最终影响我们所需求解的保险费的数额。已知每年事故数量不会减少，且死亡的司机会减少40%，医疗费下降范围为20%~40%，以及当年度此保险公司的统计报表。建立相应模型，并以报表数据验证之，同时估算今后5年每年每份保险费的数额。二、问题分析通过分析统计报表，我们可了解到此公司的客户结构，赔偿方式，资金分配，盈亏状况。从本年度客户结构，我们可结合Venn图推演出下一年度的客户类型及相应的数量；从本年度赔偿方式，我们将安全带法规实施后的参数变动和依此处理出的新数据代入赔偿公式，可得到下一年度的索赔款。从本年度资金分配，我们可沿用其分配方式，对下一年的收支进行统计，分析。从本年度盈亏状况，我们可调整下一年的保险费数额，从而建立出保险公司，社会双双收益的合理的资金调配结构，从而，我们可以由此建立出相应模型，并且由模型分析出今后的情况，得出合理的结果和意见。由于问题具有较强的实际性和复杂度，我们需经过合理的假设和简化，提取主要因素，忽略次要因素，以获得较为合理的模型，从而估算未来基本保险费用的发展和变化。三、问题假设1.新投保人数符合人口阻滞模型。2.每年的事故数量不变。3.每个人的索赔次数服从泊松分布。4.预计总收入与实际总收入之差不变。5.无自然突发状况。如：地震，海啸，核爆炸等。6.支出不变。7.后五年的收支平衡。8.注销人数为自然退保人数和死亡人数之和。9.每一类别的人没有索赔时补贴比例不变。10.注销时每人平均的偿还退回金额不变。11.下一年平均修理费不变。12.近几年物价不变。四、符号说明符号意义A本年度的人数B实施安全带法规之后第一年的人数w各部分费用金额k医疗费下降系数3i基本保险费用i取0，1，2，3，4，5，代表年份r死亡人数下降比例j取0，1，2，3，代表类别W总保费说明：其中，下标“总”表示总投保人数或总收入，“续”表示续保人数，“新”表示新投保人数，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数或索赔费用，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费用，“修”表示修理费，“医”表示医疗费。五、模型建立与求解（1）首先我们需理清各投保人及其之间的关系，我们想到利用Venn图。图示如下：图一Venn分析图（2）根据题意，本年度的统计报表如下：表1本年度发放的保险单数基本保险费：775元类别没有索赔时补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0112807083846201826416653281251764897128240176489824011544610138571154461350876005803241148760058总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元；支出：149百万元，索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。总投保人数索赔人数注销人数死亡司机数4表2本年度的索赔款类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）058275611652102015263195158246323315122312313886211585722929478232941370087270138058142321总修理费：1981(百万元)，总医疗费：2218（百万元），总死亡倍偿费：1894（百万元），总索赔费：6093(百万元)分析表1，表2可得：下一年0类续保人数=0类索赔人数-0类死亡人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数-1类死亡人数）+2类降为0类的人数（2类索赔人数-2类死亡人数），即：2211000死索死索死索续AAAAAAB（1）下一年1类续保人数=0类升为1类的人数(0类总投保人数-0类索赔人数-0类注销人数+0类死亡人数)+3类降为1类的人数（3类索赔人数-3类死亡人数），即：3300001死索死注索总续AAAAAAB（2）下一年2类续保人数=1类升为2类的人数(1类续保人数-1类索赔人数-1类注销人数+1类死亡人数)，即：11112死注索续续AAAAB（3）下一年3类续保人数=2类升为3类人数（2类续保人数-2类索赔人数-2类注销人数+2类死亡人数）+3类续保人数-3类索赔人数-3类注销人数+3类死亡人数），即：333322223死注索续死注索续续AAAAAAAAB（4）现在分析新投保人数。由人口阻滞模型：可令新投保人数为)(tx，其中t为时间；)(tr为新投保人数的增长率。设)(tr为x的线性函数0,,)(srsxrxr，这里r为固有增长率。为了确定系数s的意义，引入投保人数最大值mx。因此，新投保人数增长率)(xr可表示为：)1()(mxxrxr（5）在上式假设下建立阻滞增长模型如下：0)0(),1(xxxxrxdtdxm（6）用分离变量法求解，结果为：5rtmmexxxtx)1(1)(0（7）带入本年度新投保人数并取5.0r，得出416440mx，所以新投保人数的阻滞增长模型即为：tetx5.00827.01416440)(（8）由上式即可得今后五年的新投保人数如下表：表3五年的新投保人数第一年第二年第三年第四年第五年396549404144408895411831413632然后分析索赔人数。查阅相关资料可知，在总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布，所以他索赔k次的概率p为：)0(!)(ikiikekKp（9）所以，他至少索赔一次的概率为：ieKPKPii)0(1)1(（10）所以总人数中x个人索赔的概率为：knknxnixixnieeCCxP)()1()1()(（11）所以：)(lnln索总总BBBi（12）由此可得到索赔人数与总投保人数之间的关系为：)1(ieBB总索（13）带入数据计算可得到各类索赔人数与总投保人数的关系，见下表所示。表4索赔人数与总投保人数之间的关系类别函数第0类0.4307)14307.0eBB（总索第1类0.4005)14005.0eBB（总索第2类0.1057)11057.0eBB（总索第3类0.0834)10834.0eBB（总索6最后，我们认为死亡司机人数以及注销人数和总投保人数无关，只因为政府实施安全带法规而发生改变。（3）运用上述公式（1），（2），（3），（4），（8），（13），以及本年度此公司的统计报表，我们使用C语言编程运算得到数据，记录至下列表格中：表5实施安全带法规后第一年发放的保险单数类别没有索赔时补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0012438173965491360316403661251769819018914176981924011775090129401177510350876912403213098769124表6实施安全带法规后第一年的索赔款类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）减少20%减少40%0574040699110201221916319515840671398912239857393886211811113759476584942941370167842088056514882321由表5，表6由于本年度0，1，2，3类总注销人数为384475324114138572824018264，所以每人偿还退回的金额为18238447510706。根据假设11，总修理费不变，为1981百万元。附加保费等于总保费减去总收入，且保持不变。由本年度可知：614附w总附111（14）注注Bw1821（15）偿总净111（16）支支01ww（17））（死死r-101ww（18）修索修01wBwj（19）)1(01kwBwj医索医（20）医修死索1111（21）7超索支偿总01111（22）由此，我们可以得到具体的模型：6333222111321010]5.0)(4.0)(25.0)(5.06.075.0[死注索死注索死注索总总总总BBBBBBBBBBBBB（23）医索ww176.1966（24）在医疗费下降20%~40%的情况下，我们计算出基本保险费的金额为677、623。（4）同以上方法相同，我们利用循环语句可计算出第二，三，四，五年度的预计统计报表，表格如下：表7第二年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0012538634041441360316580081251757184018914175718424011808270129401180827350879817803213098798178表8第三年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0012561984088951360316650931251770977018914177097724011723620129401172362350882789303213098827893表9第四年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0012623814118311360316742121251777961018914177796124011816030129401181603350884761403213098847614表10第五年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数001