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1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr。在每个生产周期T内，开始一段时间（00Tt）边生产边销售，后一段时间（TtT0）只销售不生产，存贮量)(tq的变化如图所示。设每次生产开工费为1c，每件产品单位时间的存贮费为2c，以总费用最小为准则确定最优周期T，并讨论kr和kr的情况。单位时间总费用kTrkrcTcTc2)()(21，使)(Tc达到最小的最优周期)(2T21*rkrckc＝。当kr时，rcc21*2T＝，相当于不考虑生产的情况；当kr时，*T，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。3．（10分）设)(tx表示时刻t的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型0)0()1(xxxxxrdtdxm中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。t——时刻；)(tx——t时刻的人口数量；r——人口的固有增长率；mx——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；0x——初始时刻的人口数量人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率)(xr是人口数量)(tx的的减函数。假设)(xr为)(tx的线性函数：)0,0()(srsxrxr，其中，r称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是0x）的增长率。当mxx时人口不再增长，即增长率0)(mxr，代入有mxrs，从而有mxxrxr1)(，根据Malthus人口模型，有0)0()1(xxxxxrdtdxm4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？(1)0v到其它各点的最短路如下图：各点的父点如下：v0v1v2v3v4v5v6v7v0v0v0v2v3v0v5v3各点的最短路径及最短路长分别为：v0:0v0→v1:1v0→v2:2v0→v2→v3:3v0→v2→v3→v4:6v0→v5:4v0→v5→v6:6v0→v2→→v3→v7:9(2)最小生成树如下图：7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。先把苹果编号1～12,把1～4和5～8放在天平两边:（1）两边持平：就在9～12中,再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9和10不平，则在9或10中；（2）两边不平:假设1234重5678轻,则进行第二次称量125和349；若平了就在678中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的,再称1与2即可；若125轻349重,则坏的是5。某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’)解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大maxz=50x1+30x2（3）确定约束条件：4x1+3x2120（木工工时限制）2x1+x250（油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：maxS=50x1+30x2s.t.4x1+3x21202x1+x250x1,x20