数学建模案例分析--对策与决策方法建模1合作效益分配模型

第十一章对策与决策方法建模经济活动中的经营、军事对抗中的谋略、政治和外交活动中的联合、对立等诸多方面都和选择恰当的对策有关。20世纪四五十年代由冯.诺依曼和摩根斯坦合作创立的对策论（又称博弈论）研究了一系列对策问题。在本章中我们简单地介绍常见的模型——合作效益分配、矩阵对策(二人零和对策)、混合策略对策。在处理生活和工作中一件事的时候，常常面临几种情况，有几种方案可供选择，这时应该采取科学的方法和手段，从多个可行方案中选择一个最优的，这就是决策问题。本章简单介绍决策方法中的层次分析法、不确定型决策和决策树法。§1合作效益分配模型n个独立决策人在事件上进行合作，显然能产生效益是合作的必要前提，可能不同的合作人会追求不同的效益。下面考虑一种合作问题：合作产生了每个决策人都是惟一追求的效益，而且这种效益在合作后需在合作者中间进行分配，显然公平的分配是重要的。那么，怎样的分配机制才是公平的呢？先来看下面一个具体的例子。沿河有三个城镇1，2，3，其地理位置如下图所示。这三个城镇的污水需经处理后方可排入河水，用Q表示污水量(吨/秒)，L表示管道长度(公里)，按经验，建污水处理厂的费用为712.01730QP(万元)。铺设管道的费用为LQP51.026.6（万元），已知三城镇的污水量分别是51Q，32Q，53Q，L的数值如图。三城镇既可以单独建污水处理厂，也可以联合建厂，用管道送污水集中处理只能由河流的上游城镇向下游城镇输送。现要从节约总投资的角度出发，给出一种最优的污水处理方案。1Q2Q3Q河记iC—城镇i单独建厂费用)3,2,1(i，由712.0730iiQC计算出23001C（万元），16002C（万元），23003C（万元）记ijC—城镇ji,合作在j建厂，从i到j铺管道的费用)3,2,1,,(jiji。则35006.6)(730151.01712.02112LQQQC（万元）123201L382L4630)(6.6)(7302151.01712.03113LLQQQC(万元)36506.6)(730251.02712.03223LQQQC(万元)污水处理只有5种方案：方案1、各城分别建厂，总费用为6200321CCC(万元)方案2、城1，2合作处理，城3单独建厂，总费用为5800312CC(万元)方案3、城1，3合作处理，城2单独建厂，总费用为6200213CC(万元)方案4、城2，3合作处理，城1单独建厂，总费用为5950123CC(万元)方案5、三厂合作在城3建厂，总费用为5560)(6.66.6)(730251.021151.01712.0321LQQLQQQQ(万元)比较可见方案5最优，这是容易理解的，关键的问题是如果合作建一个污水处理厂，各城镇如何分担这5560万元费用，或者说与分别建厂相比节省的640万元在各城镇间如何分配。从这一例中可以抽象出n人合作的一种简单模型：设n人的集合为},,2,1{nI，如果I的任一子集S都有一个实函数)(Sv，满足：0)(v)()()(2121SvSvSSv（当21SS时）则称)(Sv为定义在I上的特征函数。特征函数实质上描述了各种合作产生的效益，也意味着全部合作对象参加合作是最好的。用向量))(,),(),(()(21vvvvn表示合作后效益的分配，其中)(vi是分配给第i个合作人的部分。下面讨论分配问题（合作向量）应满足的公理：（1）分配与合作者的编号无关；（2）各人获利之和等于总获利，即)()(Ivvi；（3）无贡献者不分配，即若对某一个i，对所有的S，当ISi时成立}){()(iSvSv，即0)(vi；（4）如果n人进行两项合作，则两项合作分别分配与加总一次分配效益相同，即v也为I上的特征函数时，令vvw，则)()()(vvwiii。Shapely首先证明了满足公理（1）~（4）的)(vi是惟一的，并验证了下式是惟一的形式。对固定的i，记iS为包含i的子集构成的集合，则有iSSiiSvSvSwv})]{()()[()(其中S是S中的人数，!)!()!1()(nSnSSw是权因子。现在回到前面的具体例子，令SiScicSv)(})({)(即各城镇单独建厂费用与合作建厂费用之差，则)(Sv是一种特征函数。城镇1应得利计算见下表所示S{1}{1，2}{1，3}{1，2，3})(Sv04000640})1{(Sv000250})1{()(SvSv04000390S1223)(Sw1/31/61/61/3)(Sw})]1{()([SvSv0660130196城镇1出资为2300-196=2104（万元），比单独投资节省196万元。同理可以计算出城镇2出资1278万元，比单独投资节省322万元。城镇3出资2178万元，比单独投资节省122万元。