数学建模案例分析--最优化方法建模2生产计划的制定

§2生产计划的制定企业内部生产计划的制定是一项非常复杂的工作，让我们简要地分这样几个层次加以讨论。第一，在工厂一级，根据市场需求和人力、设备条件，以最大利润为目标制定产品生产计划；第二，在车间一级，根据产品生产计划、生产流程、资源约束以及费用参数等，以最小成本为目标，制定生产批量计划；第三，在车间内部，根据产品的加工时间和顺序，以完工时间最早或设备均衡生产为目标，给出各产品的作业排序。此外，不论哪个层次，当目标不止一个时，将使问题更加复杂。下面举例说明这些优化问题的建模过程。例1某厂有n种产品nJJJ,,,21，单位数量产品的利润为nccc,,,21，根据市场调查，其需求不超过nqqq,,,21，按照工厂生产能力，单位数量),,2,1(niJi所需人力资源为ia1，所需设备资源为ia2，所需原料为ia3，而工厂的人力、设备、原料资源限制分别为321,,bbb，问工厂在制定生产计划时应如何确定这n种产品的产量。这类优化问题建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件，并用数学形式（符号、式子等）将它们表达出来。决策变量应是问题要求确定的量——各产品的产量，记以nxxx,,,21。目标函数显然应是总利润niiixcC1（1）人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件niiibxa111（2）niiibxa122（3）niiibxa133（4）nixqxiii,,2,1,0,（5）问题归结为在条件（2）~（5）下求nxxx,,,21，使（1）式给出的niiixcC1最大。在运筹学中（1）~（5）称为线性规划，因为决策变量在目标函数和约束条件中都是线性的。例2工厂已经拟定了对某种产品的需求量，譬如10个时段（可以一周或一天为一时段）的需求分别为1021,,,ddd，该产品的生产流程如图1，其中1是（最终）产品，2~6是它的零部件，箭头旁的数字是装配系数，如4个5装配1个3。1至6统称项目。现在考虑两种费用：生产准备费和贮存费。如果某时段生产项目i，则需准备费is（与生产数量无关）；如果将以后时段对i的需求也提前生产出来（目的在于节省准备费），则单位时段需贮存费ih（可看作资金的积压）。假定各项目的生产能力都是无限的，即在一个时段内可以完成任意数量的生产，且各项目都不需要生产提前期。试制订各项目的生产批量计划，即每个项目每时段各生产多少，使总费用最少。决策变量是各项目在各时段的产量，记)10,,2,1;6,,2,1(jixij为项目i在时段j的产量。目标函数是生产准备费与贮存费之和，记)10,,2,1;6,,2,1(jiIij为项目i在时段j的贮存量，则总费用可表示为61101)(ijijiijiIhysZ（1）其中0,00,1ijijijxxy（2）ijx与ijI的关系可表为以下的约束条件10,,2,1,111,1jdIxIjjjj（3）10,,2,1,6,5,44,3,2,2332111,jixixixixixIxIjjjjjijijji（4）12453621411图1其他约束条件有)10,,2,1;6,,2,1(0,jiIxijij（5）6,,2,100,iIi（6）问题归结为条件（2）~（6）下求)10,,2,1;6,,2,1(jixij，使（1）式给出的Z最小，这是无资源约束下多项目的生产批量模型。因为目标函数中的ijy取整数值0，1（一般ijx和ijI取值相当大，可视为实数），所以在运筹学中称为（混合）整数规划。在模型中没有考虑项目的生产费用，这是因为需求必须满足，各时段生产量之和是个常数，只要各项目单位数量的生产费用不随时段改变，那么总的生产费用仍为常数，所以最优决策与这部分费用无关。例3如果例1给出的问题还要考虑下列因素，试重新求解。1）要力争达到并超过去年的总利润M；2）充分利用现有人力资源，但不希望增加劳动力；3）1J和2J属同类产品，但1J已老化，将退出市场，故1J的产量不要超过2J。与例1只有一个目标不同，这里有3个目标，属于多目标决策问题，目标规划模型是解决这类问题的方法之一，其思路是首先引入一些新的决策变量，即对每个目标设一个正偏差变量和一个负偏差变量（指决策值与目标值间的偏差），然后利用权重系数，将多目标问题化为单目标问题，使这些偏差的总和尽量小。对于本题，我们设利润超过M的部分为正偏差1d，不足M的部分为负偏差1d，人力资源超过1b的部分为正偏差2d，不足1b的部分为负偏差2d；1J产量1x超过2J产量2x的部分为正偏差3d，不足部分为负偏差3d。需要指出的是，由于决策值不可能既超过目标值，又未达到目标值，kd，kd)3,2,1(k二者必有一个为零，且按定义，它们均为非负值。按照问题的要求，在将这3个目标综合为单目标时，应使1d，2d，2d，3d尽量小（请注意，这里不应包括1d和3d），设这3个目标的权重分别为321,,ppp，并不妨令1321ppp，那么这个模型的目标函数为3322211)(dpddpdpZ（1）而原来由利润给出的目标函数（例1（1）式）变为约束条件Mddxcniii111（2）原来的人力资源约束（例1（2）式）化为niiibddxa11221（3）根据3d，3d的定义还应有约束03321ddxx（4）例1中的其他约束条件仍然成立niiibxa122（5）niiibxa133（6）nixqxiii,,2,1,0,（7）最后，再加上kd，kd)3,2,1(k的非负约束kd，0kd)3,2,1(k（8）目标规划模型归结为，在条件（2）~（8）下求nxxx,,,21和kd，kd)3,2,1(k，使（1）式确定的Z最小。显然它仍属于线性规划的范畴。