数学建模试卷2010(答案)

1华中科技大学《数学建模》考试卷（半开卷）2010～2011学年度第一学期成绩学号专业班级姓名一、怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。（10分）（1）估计一批电饭煲的寿命；（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。解：（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。⑤（2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。⑤一二三四五六合计分数1010202020201002二、学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分别分配各宿舍的委员数。（10分）1.Hamilton方法2.Q值方法3.其它方法或你自己提出的方法解：1.Hamilton方法:③2.Q值法:先按比例计算结果将整数部分的9席分配，123n2,n3,n4①再用Q值法分配第十席：221111222222223333p235Q9204.17nn1221p333Q9240.75nn1331p432Q9331.20nn1441③Q3最大，第十席分配给C宿舍，即：123n2,n3,n5。①3.略②宿舍学生人数按比例分配参照惯例A2352.353B3333.333C4324.324总计100010103三、人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g(t)的增长率与注射速率r成正比，与人体血液容积V成反比，而由于人体组织的吸收作用，g(t)的减少率与g(t)本身成正比。分别在以下假设下建立模型，并讨论稳定情况。（20分）（1）人体血液容积V不变；（2）由于排泄等因数V的增加有极限值，即1dVtVVdt，其中10,V0均为常数。解：（1）V为常数时：基本模型为：12dgtrkkgdtV12k0,k0为常数③令：12rfgkkg0V平衡解：102krgkV②02fgk0∴平衡点102krgkV是稳定的。②（2）121dgtrkkgdtVdVtVVdt②令：121rfg,Vkkg0VFg,VVV0平衡点：100121krg,V,VkV④g002V00121g00V00rafg,Vkbfg,VkVcFg,V0dFg,V2121rkkVA0④22pk0qk0∴平衡点100121krg,V,VkV是稳定的。③4四、某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于手工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）收入达3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。（20分）解：此问题为3人合作对策。I1,2,3②定义特征函数：v0,v11,v2v30,v1,22,v1,33,v2,30,vI4④计算1：11sS1114vwsvsvs12.53323④计算2：22sS11vwsvsvs20.563④计算3：33sS12vwsvsvs3133④分配向量为：v2.5,0.5,1即：甲应分得25000元，乙应分得5000元，丙应分得10000元。#②s｛1｝｛1,2｝｛1,3｝｛1,2,3｝v(s)1234v(s-｛1｝)0000v(s)-v(s-｛1｝)1234︱s︱1223w(︱s︱)1/31/61/61/3w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛1｝)〕1/31/31/24/3s｛2｝｛1,2｝｛2,3｝｛1,2,3｝v(s)0204v(s-｛2｝)0103v(s)-v(s-｛2｝)0101︱s︱1223w(︱s︱)1/31/61/61/3w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛2｝)〕01/601/3s｛3｝｛1,3｝｛2,3｝｛1,2,3｝v(s)0304v(s-｛3｝)0102v(s)-v(s-｛3｝)0202︱s︱1223w(︱s︱)1/31/61/61/3w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛3｝)〕01/302/35五、雨滴的速度v与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析法给出速度v的表达式。（20分）解：解法一：设fv,,,g0,m4②量纲：13112vLT,LM,LMT,gLT量纲矩阵：1311A0110r31012⑩1234y1311y01100y1012y有m-r=4-3=1个基本解。②T111y1,,,333④即：111333vg3gvλ为无量纲常数。#②解法二：设312vgλ为无量纲常数。②则：3311222231LTLMLMTLT1233122321LTLMT⑩比较方程两边：123122331021解出：123131313⑥即：1113333gvg#②6六、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。T.A.McMahon收集了各种赛艇1964—1970年四次2000米比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，即19tn，其中t为比赛成绩，n为桨手数量。试用以下数据对T.A.McMahon的模型进行检验，并完成模型。（20分）解：设tnα、β为待定常数③lntlnlnnYabX③a、b的估计值为:4iii142ii1XXYY0.2485ˆb0.10352.4023XXˆˆaYbX1.87810.10351.03971.9857⑧ˆa1.9857ˆee7.2845,b0.1035④0.1035t7.2845n10.11119，可见拟合的结果与原模型吻合得较好。#②艇种（n）2000米成绩t(min)1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇种（n）2000米成绩t(min)XYXXYY1234平均单人7.167.257.287.177.210.00001.9755-1.03970.0974双人6.876.926.956.776.880.69311.9286-0.34660.0505四人6.336.426.486.136.321.38631.84370.3466-0.0344八人5.875.925.825.735.842.07941.76471.0397-0.1134均值1.0397均值1.8781