数学建模课程模拟试卷与解答

数学建模模拟试卷与参考解答21等分酒问题现有一只装满8斤酒的瓶子和两只分别装5斤和3斤酒的空瓶，如何才能将这8斤酒分成两等份？参考解答：手工操作法：设状态向量(a,b,c)，其中a代表可装8斤酒的瓶子，b代表可装5斤酒的瓶子，c代表可装3斤酒的瓶子。该问题转化为如何将初始状态(8,0,0)达到目标状态(4,4,0).其操作过程必须满足条件：任何两瓶之间操作必须满足其中一个瓶子清空为0或另一个装满。下面是一个实现步骤：(8,0,0)-(3,5,0)-(3,2,3)-(6,2,0)-(6,0,2)-(1,5,2)-(1,4,3)-(4,4,0)(共经7步操作)2某工厂的生产流水线需要一种零件，该零件需要订货得到。已知：(1)该零件批量订货的每次订货费为5000元。（2）每个零件的费用为1元。（3）每个零件每个月的存储费为0.2元。若该公司平均每月需求量为6000件。求该公司每年订货几次使总费用最少。图11.1不允许缺货的订货存储示意图参考解答：这里我们考虑一般模型。设单位时间内对零件的需求量为D件，每次订货量为Q件，订货的周期为T。单位时间的存储费为pC元。为方便起见，这里我们把零件的需求看作连续均匀来处理。考察该模型，厂家开始订货Q件，然后按单位时间消耗D件的规律减少，直到为0，完成一个周期，然后重新订货。费用的产生包括每次的订货费，每天剩余零件的存储费。还有零件的购买费用。由于一年内总需求量为常数，即零件的购买费为常数，所以在模型中可暂不考虑购买费用。一个周期T内的存储费为1.2pCQT，订货费为DC。如图11.1，则一个周期T内的总费用为：1.2pDSTCQTC(1)则单位时间内的平均费用为：1//2pDTCSTTCQCT(2)由于QTD(3).12DpCDTCCQQ(4)我们的目的是求平均费用TC最小时的订货量Q。则有：.12..2DppDCDTCCQCCDQ当2.DPCDQC时，平均费用最小为2..pDTCCCD对例1中的数据，将单位时间考虑为1年，则有：每年的需求量60001272000D件，每年每件零件的存储费0.2122.4PC元。每次订货费5000DC元。则每次定货量为：2.25000720002.4DPCDQC17320（件）订货周期173200.2472000QTD(年)每年订货为17200004.217320DnTQ(次)单位时间（1年）的平均费用为2..22.450007200041569.2pDTCCCD(元)若加上购买费用172000D元，则总费用为113569.2元。若从实际出发，每年订货次数应为整数，则有如下模型：.1min2DpCDTCCQQ..DnQstn取整该问题采用LINGO求解，结果：每年订货n=4次，每次订货为Q=18000件，最小费用为TC=41600元。每年的订货费采用实数时的41569.2元略高，说明采用采用实数的计算是可以作为重要参考的。3象钢琴这样的奢侈品销售量很小，商店里一般不会有多大的存贮量让它积压资金。现一家商店根据以往经验，平均每周售出1架钢琴。经理制定的策略是，每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，每周的平均销售量是多少？模型假设：1．钢琴每周需求量服从Poisson分布，均值为每周1架。2．存贮策略是：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则不订购。3．以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量参考解答：(1)稳定状态概率的计算设nD表示第n周的市场需求量，11{}!nPDkkenS表示第n周周一的存贮量，1,2,3nS。转移概率的计算：1111{1|1}{0}nnnpPSSPDe121{2|1}0nnpPSS1311{3|1}{1}1nnnpPSSPDe2111{1|2}{1}nnnpPSSPDe2211{2|2}{0}nnnpPSSPDe2312{3|2}{2}1nnnpPSSPDe3111{1|3}{2}2nnnpPSSPDe3211{2|3}{1}nnnpPSSPDe3313{3|3}{3}{0}12nnnnpPSSPDPDe设(){},1,2,3inanPSii则可得马尔可夫方程：123123((1),(1),(1))((),(),()).ananananananP其中转移矩阵1/011/1/1/12/1/21/13/2eePeeeeee由转移矩阵P知该链为正则莲，其收敛的稳定状态为123(,,)(0.2847,0.2631,0.4521)即稳定状态下：{1}0.2847,{2}0.2631,{3}0.4521}nnnPSPSPS(2)、计算失去销售机会的概率及每周平均销售量计算失去销售机会的概率由全概率公式，失去销售机会的概率{}nnpPDS{1}.{1|1}nnnPSPDS+{2}.{2|2}nnnPSPDS+{3}.{3|3}nnnPSPDS由于需求与存贮量独立，故：{1}.{1}nnpPSPD+{2}.{2}nnPSPD+{3}.{3}nnPSPD0.2847(12/)0.2631(15/2)0.4521(18/3)eee=0.1049每周平均销售量设每周销售量为0,1,2,3X{1}{1}.{1}{2}.{1}{3}.{1}nnnnnnPXPSPDPSPDPSPD0.2847(11/)0.26311/0.45211/eee0.4431{2}{2}.{2}{3}.{2}nnnnPXPSPDPSPD0.2631(12/)0.45211/2ee0.1527{3}{3}.{3}nnPXPSPD0.4521(15/2)e0.0363{0}{0}1/0.3679nPXPDe则销售期望为0.443110.152720.036330.8574EX(3)、敏感性分析计算当市场需求量为时，转移概率为：111{1|1}{0}nnnpPSSPDe121{2|1}0nnpPSS131{3|1}{1}1nnnpPSSPDe211{1|2}{1}nnnpPSSPDe221{2|2}{0}nnnpPSSPDe231{3|2}{2}1(1)nnnpPSSPDe2311.{1|3}{2}2nnnepPSSPD321{2|3}{1}.nnnpPSSPDe2331{3|3}{3}{0}1(/2)nnnnpPSSPDPDe设(){},1,2,3inanPSii则可得马尔可夫方程：123123((1),(1),(1))((),(),()).ananananananP其中转移矩阵22011(1)/21(/2)eePeeeeee由转移矩阵P知该链为正则莲，其收敛的稳定状态为当0.8时，123(,,)(0.2937,0.2790,0.4274)当0.9时，123(,,)(0.2892,0.2711,0.4397)当1时，123(,,)(0.2847,0.2631,0.4521)当1.1时，123(,,)(0.2803,0.2550,0.4647)当1.2时，123(,,)(0.2758,0.2469,0.4773)失去销售机会的概率{}nnpPDS={1}.{1}nnPSPD+{2}.{2}nnPSPD+{3}.{3}nnPSPD223123.[1(1).].[1(1/2).].[(1/2/6).]wewewe计算结果见表7.5。表7.5不同下的概率0.80.911.11.2P0.07330.08880.10490.12170.1389从分析结果看出，当市场需求增长约10%时，失去销售机会的概率增加约15%。