数学归纳法的应用习题

第2课时数学归纳法的应用双基达标限时20分钟1．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是()．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比两式，可得结论．答案C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．答案B3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于()．A．f(n)＋n－1B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1D．f(n)＋n＋2解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．答案C4．已知Sn＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋12n－12n＋1，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.解析分别将1,2,3,4代入观察猜想Sn＝n2n＋1.答案13253749n2n＋15．用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案2x2k－y2k能被x＋y整除6．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝54＜2－12＝32，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2＜2－1k，当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12＜2－1k＋1k＋12＜2－1k＋1kk＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1，命题成立．由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．综合提高限时25分钟7．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是()．A．增加了一项12k＋1B．增加了两项12k＋1和12k＋1C．增加了B中的两项，但又减少了一项1k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1k＋1解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2.答案C8．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是()．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立解析由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立．所以P(4)成立，则P(6)成立．答案C9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：1＝3a－b＋c，1＋2×3＝322a－b＋c，1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，整理得3a－3b＋c＝1，18a－9b＋c＝7，81a－27b＋c＝34，解得a＝12，b＝c＝14.答案a＝12，b＝c＝1410．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．解析a1＝2，a2＝27，a3＝213，a4＝219，猜测an＝26n－5.答案an＝26n－511．求证：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n.证明(1)当n＝1时，f(1)＝1＋12，原不等式成立；(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k成立，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≥1＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋11＋k2＋＝1＋k2＋12＝1＋k＋12，f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≤12＋k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋112＋k＋∴f(k＋1)12＋(k＋1)即n＝k＋1时，命题成立．综合(1)、(2)可得：原命题对n∈N*恒成立．12．(创新拓展)数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．证明当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝32，n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝74，n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝158.∴猜想an＝2n－12n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，②假设n＝k时猜想成立，即ak＝2k－12k－1成立．那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋2k－12k－1＝2k＋1－12k－1，∴ak＋1＝2k＋1－12k，即n＝k＋1时猜想成立．由①②可知，对n∈N*猜想均成立．