数学奥林匹克高中训练题(07)及答案

数学奥林匹克高中训练题（07）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题07)十个元素组成的集合{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}M．M的所有非空子集记为(1,2,,1023)iMi，每一非空子集中所有元素的乘积记为(1,2,,1023)imi.则10231iim（C）．（A）0（B）1(C)-1(D)以上都不对2．(训练题07)ABC△ABC的三个内角,,ABC依次成等差数列，三条边,,abc上的高,,abchhh也依次成等差数列．则ABC为（B）（A）等腰但不等边三角形（B）等边三角形（C）直角三角形（D）钝角非等腰三角形3．(训练题07)对一切实数x，不等式42(1)10xax恒成立．则a的取值范围是（A）（A）1a(B)0a(C)3a(D)1a4．(训练题07)若空间四点,,,ABCD满足8,10,13ABCDACBDADBC，则这样的三棱锥ABCD共有（A）个．（A）0（B）1（C）2（D）多于25．(训练题07)已知不等式21log0(0,)2mxxx在时恒成立，则m的取值范围是（B）（A）01m(B)1116m(C)1m(D)1016m6．(训练题07)方程20(,,,0)axbxcabcRa在复数集内根的个数为n.则（C）（A）n最大是2（B）n最大是4（C）n最大是6（D）n最大是8二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题07)函数368yxx的值域是___[10,210]_____2．(训练题07)已知椭圆22198xy，焦点为1F，2F，P为椭圆上任意一点（但P点不在x轴上），12PFF的内心为I，过I作平行于x轴的直线交12,PFPF于,AB.则12PABPFFSS___916_____.3．(训练题07),,ABC为ABC的三个内角，且cotcotcot2(cotcotcot)222ABCABCT.则maxT___3__.4．(训练题07)实数,,abc满足22223,285abcabcc.则ab的最小值是__2516__.5．(训练题07)在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有n队参赛，则n=__6____.6．(训练题07)若1013222m是一个完全平方数，则自然数m14．三、(训练题07)（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)四、(训练题07)（本题满分20分）一个点在x轴上运动的速度为2米/秒，在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线．五、(训练题07)（本题满分20分）已知x为虚数，且1xx是方程210yaya的实根．求实数的取值范围．(2225aa或)第二试一、(训练题07)（本题满分20分）在ABC中，M为BC边上的任一点，MEAB于E，MFAC于F，ANEF交BC于N．求证：AMANBMBNCMCNABAC．二、(训练题07)（本题满分35分）用n个数（允许重复）组成一个长为N的数列，且2nN.证明：可在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数．三、(训练题07)（本题满分35分）空间中有100个点，其中每四点都不在同一平面上，每三点都不在同一条直线上，每一点都与其它33点连红线，与另33点连黄线，与最后的33点连蓝线．证明：一定会出现一个三边均不同色的三角形．