数学建模案例分析--模糊数学方法建模3股票反弹率的模糊聚类法

§3股票反弹率的模糊聚类法将模糊集理论应用于聚类分析，便产生了模糊聚类法。一、模糊聚类法介绍若矩阵A的各元素ija满足10ija，则称A为模糊矩阵。设pnijaA)(和mpijbB)(为两个模糊矩阵，令mjnibackjikpkij,,2,1,,,2,1),(1则称矩阵mnijcC)(为模糊矩阵A与B的乘积，记为BAC，其中和的含义为},max{baba，},min{baba显然，两个模糊矩阵的乘积仍为模糊矩阵。设方阵A为一个模糊矩阵，若A满足AAA，则称A为模糊等价矩阵。模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲象乙，乙象丙，则甲象丙”这样的关系。设nnijaA)(为一个模糊等价矩阵，10为一个给定的数，令njiaaaijijij,,2,1,,0,1)(则称矩阵nnijaA)()(为A的—截阵。模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先计算变量间的相似系数矩阵（或样品间的距离矩阵），将其元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵，进一步改造成模糊等价矩阵，最后取不同的标准，得到不同的—截阵，从而可以得到不同的类。具体步骤如下：1、计算相似系数矩阵R或样品的距离矩阵D其中nnijdD)(和ppijrR)(的算法与第四章§4.7消费分布规律的分类中相同。2、将R（或D）中的元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵我们统一记为nnijaA)(；例如对相似系数矩阵ppijrR)(，可令pjiraijij,,2,1,),1(21对于距离矩阵nnijdD)(，可令njiddaijnjiijij,,2,1,,max11,13、建立模糊等价矩阵一般说来，上述模糊矩阵nnijaA)(不具有等价性，这可以通过模糊矩阵的乘积将其转化为模糊等价阵，具体方法是：计算,,,2242AAAAAA直到满足kkAA2，这时模糊矩阵kA便是一个模糊等价矩阵。记kijAaA)~(~。4、聚类将ija~按由大到小的顺序排列，从1开始，沿着ija~由大到小的顺序依次取ija~，求A~的相应的—截阵A~，其中元素为1的表示将其对应的两个变量（或样品）归为一类，随着的变小，其合并的类越来越多，最终当ijnjia~max,1时，将全部变量（或样品）归为一个大类。5、按值画出聚类图二、应用举例—股票反弹率的模糊聚类法从1975年1月至1976年12月对纽约证券交易所的五种股票（AlliedChemical,DuPont,UnionCarbide,Exxon,Texaco）的周反弹率进行100周的观察，其中周反弹率=（本周五收盘价-上周五收盘价）/上周五收盘价。由于在一般经济条件下，股票有集聚的趋势，因此各股票的周反弹率存在相关关系。设TXXXXXX),,,,(54321表示这五种股票的周反弹率，利用这100个样本观测值（原始数据略）求出样本相关系数矩阵为152.043.032.046.0144.039.039.0160.051.0158.01R此矩阵已经是模糊矩阵，故只需将它化成模糊等价阵。152.046.046.046.0144.044.046.0160.058.0158.012RRR152.046.046.046.0146.046.046.0160.058.0158.01224RRR同理可得4448RRRR，故4~RR为模糊等价矩阵，其元素按由大到小排列为46.052.058.060.01取1，得其—截阵为100001000100101~1R即这5种股票自成一类。取60.0，得其—截阵为100001000110101~60.0R即在60.0水平上，将{2}，{3}归为一类，此时共分为四类：{2，3}，{1}，{4}，{5}。再依次取58.0，52.0，46.0，分别得其—截阵为100001000111111~058R，110001000111111~052R，111111111111111~046R当58.0时，将{1}，{2}，{3}归为一类，此时共分为三类：{1，2，3}，{4}，{5}。当52.0时，将{4}，{5}归为一类，此时共分为二类：{1，2，3}，{4，5}。当46.0时，将这5种股票归为一个大类。画出聚类图如下：10.5820.6030.4640.525