数学必修五第二章数列单元质量评估(二)

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝nn－12C．an＝nn＋12D．an＝nn＋22解析：由题意知，每个图案星星的个数分别为1,3,6,10，…，代入检验可知选C.答案：C2．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝16，则a3a6等于()A．8B．32C．64D．128解析：设等比数列{an}的公比为q，则a8＝a1q7＝2q7＝16，∴q7＝8.∴a3·a6＝a21q7＝4×8＝32.答案：B3．数列1,32,53,74，…的第n项为()A．(n＋1)nB．(2n＋1)n＋1C．(2n－1)nD．(2n－1)n＋1解析：把数列的第一项1写成11，第n项的底数为2n－1，指数为n，故选项C正确．答案：C4．等比数列前n项和Sn＝a·(12)n－3，则a的值为()A．3B．－3C．2D．－2解析：由等比数列前n项和公式Sn＝a11－qn1－q＝－a11－qqn＋a11－q与Sn＝a·(12)n－3比较可得a＝3，故答案为A.答案：A5．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为()A．14B．15C．16D．17解析：S9＝9a1＋a92＝18⇒a1＋a9＝4⇒2(a1＋4d)＝4.∴a1＋4d＝2.又an＝an－4＋4d，∴Sn＝na1＋an2＝16n＝240.∴n＝15.答案：B6．已知m，n，p，q成等比数列，且m，q是方程x2＋3x－5＝0的两根，则n·p等于()A．－3B．3C．－5D．5解析：由根与系数的关系得m·q＝－5，∵m，n，p，q成等比数列，∴n·p＝m·q＝－5.答案：C7．在等比数列{an}中，如果a5和a9是一元二次方程x2＋7x＋9＝0的两个根，则a4·a7·a10的值为()A．－27B．27C．±27D．±81解析：由题意得a5＋a9＝－70，a5·a9＝a27＝9，所以a50a90，⇒a70，故a7＝－3，所以a4·a7·a10＝a37＝(－3)3＝－27.答案：A8．设函数f(x)满足f(n＋1)＝2fn＋n2(n∈N*)且f(1)＝2，则f(20)为()A．95B．97C．105D．192解析：f(n＋1)－f(n)＝n2⇒f2－f1＝12×1，f3－f2＝12×2，⋮⋮f20－f19＝12×19.相加得f(20)－f(1)＝12(1＋2＋…＋19)⇒f(20)＝95＋f(1)＝97.答案：B9．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an，则a2010等于()A．－1B．5C．1D．－4解析：由题意可得a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，…，可知数列{an}是以6为周期的数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，又知2010除以6余数为0，所以a2010＝a6＝－4.答案：D10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an－an－1＝lnnn－1(n≥2)．∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝ln(nn－1×n－1n－2×…×32×21)＋2＝2＋lnn，又a1＝2也适合上式，故选A.答案：A11．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，其公比q≠1，且bi0(i＝1,2,3，…)，若a2＝b2，a8＝b8，则()A．a5＝b5B．a5b5C．a5b5D．a5b5或a5b5解析：由题意不妨设d0，q1.an是关于n的一次函数形式，bn是关于n的指数函数形式，在同一坐标系中分别作出它们的图象(如下图)，故a5b5.答案：B12．(2012年福建南靖一中高三月考)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6若按此规律，则a2009＋a2010＋a2011等于()A．1003B．1005C．1006D．2011解析：由题意知a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a1211－1223－2435－36观察其规律可得a2009＋a2011＝0，a2010＝20102＝1005.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．等差数列{an}中，a1≠0，d≠0，且a1，a3，a4成等比数列，则a3＋a4a1＋a2＝________.解析：依题意，a23＝a1·a4，则有(a1＋2d)2＝a1·(a1＋3d)，因为a1≠0，d≠0，整理得a1＝－4d，因此a3＋a4a1＋a2＝2a1＋5d2a1＋d＝－3d－7d＝37.答案：3714．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则a11b11＝________.解析：a11b11＝a1＋a212b1＋b212＝21a1＋a21221b1＋b212＝S21T21＝2×213×21＋1＝2132.答案：213215．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.解析：由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，∴log3a1＋log3a2…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝10.答案：1016．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算a1·a2＝log23·log34＝lg3lg2·lg4lg3＝2，a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log67·log78＝lg3lg2·lg4lg3·…·lg7lg6·lg8lg7＝3，……定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k(k∈N*)叫做企盼数．当a1·a2·a3·…·ak＝2010时，企盼数k＝________.解析：由a1·a2·…·ak＝lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·…·lgk＋2lgk＋1＝lgk＋2lg2＝log2(k＋2)＝2010，解得k＝22010－2.答案：22010－2三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知函数y＝f(x－1)的图象经过点(1,0)，且f(x)＝x2－x＋b，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．解：∵函数y＝f(x－1)的图象经过点(1,0)，∴函数y＝f(x)的图象过点(0,0)．∴f(0)＝0，得b＝0，故f(x)＝x2－x，∴Sn＝n2－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n)－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2；当n＝1时，a1＝S1＝0，满足上式．所以数列{an}的通项公式为an＝2n－2(n∈N*)．18．(本小题12分)数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，问：(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解：(1)由an为负数，得n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，故n＝2或3，即数列有两项为负数，分别是第2项和第3项．(2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94，∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，最小值为a3＝a2＝22－5×2＋4＝－2.19．(本小题12分)(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．解：(1)设等差数列的公差为d，由题意得a1＋a2＋a3＝－3a1·a2·a3＝8⇒3a1＋3d＝－3a1a1＋da1＋2d＝8⇒a1＝2d＝－3或a1＝－4d＝3∴an＝2＋(n－1)×(－3)＝－3n＋5或an＝－4＋(n－1)×3＝3n－7，∴等差数列{an}的通项公式为an＝－3n＋5或an＝3n－7.(2)∵a2，a3，a1成等比数列．∴a23＝a2·a1，综合(1)an＝3n－7，∴数列{|an|}的前n项和Sn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－a1－a2＋a3＋…＋an＝－2a1－2a2＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝－2(a1＋a2)＋na1＋an2＝32n2－112n＋1020．(本小题12分)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项均为正数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.解：(1)由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴an＝3n－1.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，可得b1＋b2＋b3＝15，所以b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得，(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d1＝2，d2＝－10.∵等差数列{bn}的各项均为正数，∴d0.∴d＝2.∴Tn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.21．(本小题12分)某林场有荒山3250亩，从2010年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活)．(1)求需几年可将此荒山全部绿化；(2)已知新植树苗每亩木材量为2m3，树林每年的自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底木材量为S，求S的最简表达式．解：(1)设n年可将荒山全部绿化，则100n＋nn－12·50＝3250，化简得n2＋3n－130＝0，解得n＝10或n＝－13(舍去)，即需10年可将荒山全部绿化．(2)根据题意得S＝100×2×(1＋10%)10＋150×2×(1＋10%)9＋200×2×(1＋10%)8＋…＋550×2×(1＋10%)，即S＝100(2×1.110＋3×1.19＋4×1.18＋…＋11×1.1)，①∴1.1S＝100(2×1.111＋3×1.110＋4×1.19＋…＋11×1.12)，②②－①得0．1S＝100(2×1.111＋1.110＋1.19＋…＋1.12－11×1.1)＝100[1.111＋1.121－1.1101－1.1－11×1.1]＝100(1.111＋1.112－1.120.1－11×1.1)＝100×1.111＋1000×1.112－1000×1.12－1000×1.12＝100×1.111(1＋11)－2000×1.12.∴S＝12000×1.111－24200.22．(本小题12分)已知数列{an}满足：a1＝12，31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，anan＋10(n≥1)，数列{bn}满足：bn＝a2n＋1－a2n(n≥1)．求数列{an}，{bn}的通项公式．解：由题意可知，1－a2n＋1＝23(1－a2n)．令cn＝1－a2n，则cn＋1＝23cn.又c1＝1－a21＝34，则数列{cn}是首项为c1＝34，公比为23的等比数列，即cn＝34·(23)n－1.故1－a2n＝34·(23)n－1⇒a2n＝1－34·(23)n－1.又a1＝120，anan＋10，故an＝(－1)n－11－34·23n－1.bn＝a2n＋1－a2n＝[1－34·(23)n]－[1－34