数学思想在化学解题中的应用

数学“搭台”化学“唱戏”——数学思想在化学解题中的应用化学计算解题过程，主要是化学知识的运用过程，即结合题目条件利用物质的组成、结构、性质和变化规律建立联系，在解题过程中合理使用数学工具可以取得事半功倍的效果。一、利用二元一次方程组解题有关混合物计算是高中化学中常见的类型，其解题过程大体可分为两个阶段，第一阶段利用化学知识找出题目中各物质间量的关系，第二阶段利用关系列出方程计算得出结果。值得指出的是化学计算中十字交叉法、差量法均是二元一次方程组独特的运算方法。例1、将一小块部分氧化成淡黄色的钠投入水中，充分反应后收集到标准状况下的气体1.232L，将反应后的溶液稀释至1.2L，测得溶液中OH－的浓度为0.1mol/L，求被氧化的钠中钠的质量分数。解析和答案：钠表面的淡黄色物质为Na2O2，设混合物中钠的物质的量为x，Na2O2的物质的量为y。2Na＋2H2O＝2NaOH＋H2↑2Na2O2＋2H2O＝4NaOH＋O2↑221241Xxx/2y2yy/2LmolLyxmolLLyx/1.02.12/4.22232.122解得，molymolx01.01.0。钠的质量分数为：%7.74%100/7801.0/23/1./23/1.0molgmolmolgLmolomolgLmol。答：被氧化的钠中钠的质量分数为74.7％。二、利用排列组合解题在分析化学组成、结构单元等问题时利用排列组合的知识将具体问题抽象化，可以简化解题过程。例2、现有10种α－氨基酸，能组成有三种不同的氨基酸单元的三肽的数目是（）A.360种B.720种C.960种D.无法计算解析：根据数学中的排列组合知识可知此题属于有序性排列：因为R－CH(NH2)－COOH形成肽键时可只有－COOH参加，也可能只有－NH2参加，也可是－COOH和－NH2同时参加。从10种不同的氨基酸任取三种的组合是C310，任取三种构成的三肽是一个排列问题，即P33。故能组成有三种不同的氨基酸单元的三肽的数目是C310P33＝720种。答案：B。三、利用等差数列、极值解题例3、有一系列α－氨基酸按如下特点排列：CH2(NH2)COOH、CH3CH(NH2)COOH、CH3H2CH(NH2)COOH…该系列化合物中碳元素的质量分数的最大值为（）A.32%B.46.6%C.85.7%D.无法确定解析：由分子式组成可知此系列中α－氨基酸的通式为CnH2n-1O2NH2，即(CH2)nO2NH，当n趋向于无穷大时，通式中的O2NH可忽略。则C%=(12/14)×100%=85.7%。答案：C。四、利用等比数列解题例4、在一定条件下，将等体积的NO和O2的混合气置于试管中，并将试管倒立于水槽中，充分反应后，剩余气体的体积为原气体总体积的（）A.41B.43C.81D.103解析：设NO和O2的物质的量均为n，则2NO＋O2＝2NO2；3NO2＋H2O＝2HNO3＋NO，由以上反应可知：nmolNO与(n/2)molO2反应生成nmolNO2，溶于水后得(n/3)molNO，(n/3)molNO与(n/6)molO2反应生成(n/3)molNO2，溶于水后得(n/9)molNO……不断循环反应下去，总耗氧量为下列等比数列各项之和：2n，6n，18n…据等比数列的求和公式，得总耗氧量为433112nn，剩余O2为443nnn，故剩余O2的体积为原气体总体积的1/8。答案：C。五、利用不等式解题根据题设条件求最大值或最小值，从而确定取值范围来解决问题，解题过程中往往可根据某种物质组成的有或无来确定最大值或最小值，有时也可以依据方程式来确定。例5、今有10.8g碱金属M及其氧化物M2O的混合物与水反应，生成碱16g，则M为（）A．LiB．NaC．KD．Rb解析：假设10.8g全部是碱金属M，根据2M+2H2O=2MOH+H2↑，解得M的相对原子质量小于35。假设10.8g全部是碱金属氧化物M2O。根据M2O+H2O=2MOH解得M的相对原子质量大于11，所以碱金属相对原子质量在11～35之间。答案：B。六、利用函数图象法解题解决某些化学问题时，通过建立数学函数，通过研究数学函数或函数所对应的图象使所要研究的问题直观化、形象化，并使复杂问题抽象成简单关系进行研究。例6、硫铁矿高温下空气氧化产生二氧化硫：4FeS2＋11O2＝8SO2＋2Fe2O3，设空气中N2、O2的含量分别为0.800和0.200（体积分数，以下气体含量均用体积分数表示），设FeS2氧化产生的气体混合物为100L，其中O2为aL，SO2为bL。（1）写出a和b的关系式（2）在右图中画出a和b的关系曲线（FeS2氧化时，空气过量20%）说明：为方便作图，纵坐标用13b表示解析：100L气体混合物中N2为（100―a―b）L，而生成bLSO2耗O2为(11b/8)L。则（100―a―b）L:（11b/8）L＝4:1，即13b＝200－10a。利用描点法作出a和b的关系曲线。答案：（1）13b＝200－10a（2）七、利用立体几何解题将化学问题中复杂抽象的数量关系转化为简明的几何图形，将几何图形中包含的有关化学问题的数量关系抽象出来再加以解决。例7、1996年诺贝化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60分子是形如球状的多面体(如图)，该结构的建立基于以下考虑：①C60分子中每个碳原子只跟相邻的3个碳原子形成化学键；②C60分子只含有五边形和六边形；③多面体的顶点数、面数和棱边数的关系,遵循欧拉定理：顶点数＋面数－棱边数＝2。据上所述可推知C60分子有12个五边形和20个六边形，C60分子所含的双键数为30。请回答下列问题：（1）通过计算，确定C60分子所含单键数为。（2）C70分子也已制得，它的分子结构模型可以与C60同样考虑而推知.通过计算确定C70分子中所含五边形数为____________，六边形数为_________。解析：（1）C60分子中形成的化学键数为：90)603(21，也可由欧拉定理计算键数(即棱边数):60+(12+20)-2=90。C60分子中单键为:90-30=60。（2）设C70分子中五边形数为x,六边形数为y.依题意可得方程组:解得：2512yx答案：（1）60（2）1225。八、利用特殊值解题利用特殊值是指在化学计算中利用化合价或角标数字只能取自然数的特点，讨论解不定方程的方法。例8、某含氧酸的化学式为HnXO2n-1，该含氧酸受热分解生成氧化物的化学式可能是（）A．XOB．XO2C．X2O3D．XO3解析：利用化合价代数和为零，计算出X的化合价为3n-2，运用n只能取自然数即n=1、2、3、…，分别代入上述计算式得出结论。答案：B。九、利用奇偶数性质解题运用数学运算法则中奇数加偶数得奇数，偶数加偶数或奇数加奇数得偶数的特点解决化学实际问题。例9、X、Y是短周期元素，二者能组成化合物X2Y3，已知X的原子序数为n，则Y的原子序数不可能的是（）A．n+11B．n-6C．n+3D．n+4解析：根据化学式X2Y3可知X价态为+3或+6、Y价态为-2或-4，但若X为+6、Y为-4不能成立，所以根据X、Y是短周期元素可以判断出X为奇数族数的元素，Y为偶数族数的元素，族数差必为奇数。答案：B、D。十、利用辅助状态解题辅助状态是指按照常规方法很难得出结论。若采取某种中间状态做参照物进行比较，从而迅速获得答案的方法，这一思想与数学解题过程中加辅助线的方法同出一辙。例10、质量分数分别为70％与10％的两种硫酸等体积混合后，所得硫酸溶液的质量分数为（）A．40％B．大于40％C．小于40％D．无法确定解析：根据题意要计算溶质质量分数分别为70％与10％的两种硫酸等体积混合后，所得硫酸溶液溶质质量分数，应知道所得溶液中溶质和溶液的质量，很显然题目条件不足。直接计算行不通，能否采取间接方法？通过题于条件及选项可知，40％是将70％与10％的两种硫酸等质量混合后所得硫酸溶液的质量分数，将等体积混合和等质量混合两种状况进行比较后不难发现它们的差异是等体积时硫酸的用量大于等质量时硫酸的用量，进而得出结论。答案：B。2)703(21)(70)703(21)65(21yxyx