数学思想方法在解题中的应用

数学思想方法在解题中的应用第1页共3页数学思想方法在解题中的应用在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。例1.已知方程mxmx222110有实数根，求m的取值范围。分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。解：（1）当m20，即m0，方程为一元一次方程x10，有实数根x1；（2）当m20，即m0时，方程为二次方程。由有实根的条件得：2144101422mmmm所以m14，且m0综合（1）、（2），得：m14评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。例2.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mxx2440与xmxmm2244450的根都是整数。解析：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m0。又由于方程均有实数根，所以124440m解得：m1数学思想方法在解题中的应用第2页共3页又2224414450mmm解得：m54所以541m又m是整数，且m0，且m1或1当m1时，方程mxx2440为xx2440，解得方程的根为x222，它的根不是整数，故m1舍去。当m1时，方程mxx2440的根为xx122，方程xmxmm2244450根为xx1251，，均为整数，所以m1。评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。例3.已知关于x的方程：xmxm22240（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。（2）若这个方程的两个实数根xx12、满足xx212，求m的值及相应的xx12、。解：（1）mmm244212222所以不论m取何值，总有2102m所以21202m，即0所以方程总有两个相异的实根。（2）因为xxm12240·所以xx1200，或xx1200，数学思想方法在解题中的应用第3页共3页①若xx1200，，则xx212所以xx122所以m4此时xx2240所以xx121515，②若xx1200，，则xx212所以xx122所以m1，此时xx220所以xx1202，评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。例4.若实数a、b满足aabb22850850，，求baab1111的值。解：由方程根的定义，知a、b是方程xx2850的两个根所以abab85，所以baabababababab11112221202事实上，题设中的a与b是可以相等的，当ab时，原式＝2综上所述：当ab时，原式20，当ab时原式＝2评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。从上面例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明确讨论的对象；（2）进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳并作出结论。