数学教学中应重视估算能力的培养

１数学教学中应重视估算能力的培养南宁五中文衍昌现实生活中，限于条件，对于一些事件人们无法（有时也没有必要）进行判断和运算，而只能依赖于估算。本文就估算的概念、中学生估算的现状以及如何培养中学生的估算能力进行浅述。一、估算的概念估算是一种粗略的近似的计算，它的基本特点是对数值的扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围，或作出一个估计。估算实质上是一种数学意识，它以正确的算理为基础，通过迅速合理的观察、比较、判断、推理，在诸多信息面前寻求有用的或关键的数学信息。估算带有直觉和猜想的成分，但与一般的直觉和猜想又有所不同。估算能力是一种较高层次的数学能力，它要求对数学中各个对象的关系有比较深刻的理解和认识，通过估算，可以达到判断、辨别、探索、导向、评价、优化的目标。二、估算的现状由于历史的原因和对数学的片面认识，估算一直未被数学教育者引起足够的重视，更没有被中学生所接受，估算是估计的重要内容和基础。现在许多国家已认识到估计特别是估算的教育价值，并将它作为数学教学的一部分。目前数学教学中还没有把估算摆到应有的位置。首先表现在教材上，实际应用题太少，估算题目则少得可怜。应用题的背景材料过于简单化、过于数学化，数学模型结构浅显，其内容陈旧过时，不能体现数学在现代生活、现代生产、现代社会、现代科技中的广泛应用；其次表现在教学中，由于高考的影响，中学数学教学平时很少涉及到实际应用问题，只有在毕业班复习时，教师才匆匆忙忙、仓促上阵、临时抱佛脚地拿几个题目讲一讲，在考试中学生往往容易丢分，在高考试卷上充分反应出来。譬如，1998年的高考题第10题：向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是（）Voh分析：要求出每种情形所对应的V与h的函数关系并非不可，但是较为繁琐。若(A)(B)(C)(D)２本题用估算方法处理就非常简单．图中的（D）为圆柱体，V与h恰好成正比，图中的（A）水瓶上大下小，体积增加的速度相对于水深增加的速度越来越快，图中的（C）的体积增加的速度时快时慢，只有图中的（B）符合要求。但是，学生得分率却很低，原因就在于学生不懂得估算，更没有形成估算能力。三、估算能力的培养估算是一种实质性的社会活动，它涉及到社会生活的各个领域，从家庭的日常开支到产品销售的成本利润，从体育比赛的打分评判到天体运行的轨道曲线都离不开估算，要培养学生的数学估算能力，可以从下列几个方面着手。1、更新教育观念，增强估算意识数学的精确性固然重要，但实际问题数学化却离不开估算。数学估算与数学学科的精确性相辅相成，相得益彰，数学估算以数学结构的逻辑和推理的严谨性为基础的，反过来又为数学理论的研究和迅速合理解决数学问题及实际问题提供了条件。从实际问题中怎样得出一般性规律，怎样转化为“理论模型”都需要有较强的估算能力，因此从“拓展素质”、培养学生创新精神的角度出发，从为学生的后续学习着想，我们应当更新观念，把估算能力纳入数学素养的范畴，重视估算教学，加强估算策略研究，让学生了解估算的意义，增强估算意识，不断提高处理实际问题的能力。2、加强方法指导，提高估算技能估算是一种开放性的创造性活动，往往带有很多不确定的因素，有时结果也不是唯一的，这就要求学生了解什么时候估算是合理的、可行的，如何根据条件确定精确度，如何提取主要因素，哪些数据可以忽略不计，这些技能的培养并非一日之功，而要贯穿于数学教学的过程。教师要教会学生估算方法，帮助他们掌握估算策略，鼓励他们经常练习。数学估算的基本方法有近似计算，由特殊估算一般，由局部估算整体，由一般估算个体情况，由表象估算解题规律等。现在广泛使用的特例法，其实就是一种简单的估算。3、关注现实生活，重视估算应用教师要结合章节教学，统筹安排，适时编辑以社会生活热点为背景的数学估算问题，还可以组织学生按照数学内容开展社会实践活动，参与实际问题的解决，这样既激发了学生学习数学的兴趣，又培养了他们应用数学意识，发展了实用的估算技能。4、数学教学过程，渗透估算思想估算意识的培养，源自对多个直观现象的观察、分析、抽象、概括。因此，数学教学过程中渗透估算思想是加强学生估算意识、培养学生估算能力的重要一环。３如，在“球体积公式”教学中，怎样求球的体积呢？教师可以先展示下面三个几何模型给学生看：老师与学生一起观察、比较这三个几何体的体积大小，通过估算，然后得出它们体积的大小关系：V锥＜V半球＜V园柱进而改写上面不等式为31πR3＜V半球＜33πR3此时，启发学生根据数学关系式的对称美、和谐美，大胆地进行猜想，得出31πR3＜32πR3＜33πR3因此，V半球＝32πR3，故V球＝34πR3通过这样的教学，既培养了学生的观察分析问题的能力，又培养了学生的估算猜想能力，这无疑是创新能力的一个具体体现。随着市场经济的不断发展，彩票、股票、利税、保险等经济方面的活动以及日常生活的需要，人们应不断增强自己的估算意识，使自己具有合理的估算方法和能力。5、解题教学过程，培养估算能力在解题过程中对某些元素进行估算，可得到某种关系或性质，从而揭示问题的本质或发现解题的窍门，获得问题的优美解。估算是一种很有使用价值的解题方法，同时也是培养学生估算能力的有效途径。估算方法有很多，在这里给出几种常见方法，以揭示估算解题的本质。（1）近似估算：有些问题，对所要考察的数，只需近似数据，可通过近似计算对有关数据进行估算。例1：已知X1是方程X+lgX=3的根，X2是方程X+10x=3的根，则X1+X2=（A）1（B）2(C)3（D）5分析：由第一个方程可知它的根X1约为2.5，由第二个方程可知它的根X2约为0.4，由此可知X1+X2的值不可能是1、2、5。因此排除(A)，（B），（D），故选（C）。４说明：本题若是直接解方程，求出精确解，那是非常麻烦的，估算的优越性在此体现得淋漓尽致。（2）特例估算：所谓特例估算就是从特殊情况进行数值的猜想、判断、估计和推理。例2：一个直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为(A)arccos215(B)arcsin215(C)arccos251(D)arcsin251分析:由251＜0,可知arccos251＞2，arcsin251＜0。排除（C）,（D）。22215，arccos4215,而直角三角形中的最小角不大于4，排除（A），故选（B）。说明：本题是一个简单综合题，按常规法求解，需一个关于sinx的一元二次方程，有一定运算量，由选项提供的信息进行估算，显然更加快捷.（3）定量估算：根据所给数据，择其一个数或两个数，进行有限次的计算，然后作出推断。例3：用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）个（A）24(B)30(C)40(D)60分析：显然没有重复数字的三位数共有P35=60个，这60个三位数不是奇数，就是偶数，由于可作个位数的奇数有3个，偶数只有2个，则偶数的个数应少于21×60＝30个，所以选（A）。说明：本题直接求解计算量也不大，但估算法还是显示出了优越性，只需一个判断就得到答案。（4）整体估算：就是将问题中几个数量的大小相互牵制，必须从整体的角度来观察、估计。例4：正三棱锥P—ABC的棱长及底面边长都是1，点M在PA上，Q在CB上,则M、Q两点间的距离|MQ|的取值范围是(A)[0，1](B)[22，1](C)（22，1）(D)（22，2）分析：显然M、Q两点间的距离大于零，排除（A），又当点M与点P重合，点Q５与点C重合时，M、Q两点的距离为1，且M、Q两点间的距离最大值为1，于是又可排除（C）、（D），故选（B）。说明：此题对整个三棱锥的考虑，通过排除、估算不难得出结果。（5）位置估计：根据几何体或曲线等图形的位置关系，可以推断它们之间的某些元素数量的大小。例5：如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=23，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为(A)29(B)5(C)6(D)215分析：连结BE、CE，则四棱锥E—ABCD的体积VABCDE=31×3×3×2=6，又整个几何体的体积大于部分的体积，即所求几何体的体积V求VABCDE，故选（D）。说明：本题为非典型多面体计算问题，分割计算是求解的常用方法，但计算较繁，现分割并运用估算法求解比较方便。数学估算适用性强、应用面广，在处理实际问题中发挥着越来越重要的作用，数学估算的方法、手段也在不断更新，从简单的估算策略到估算理论的运用，人工处理到计算机操作，都为估算提供了理论依据和物资支持，在数学教学中，估算确实值得我们重视。