数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的目录一、结题报告……………………………………………………3二、附件1、开题报告…………………………………………………….272、活动记录…………………………………………………….293、心得体会…………………………………………………….324、组员互评……………………………………………………335、学生自我总结……………………………………………..366、导师评语……………………………………………………397、学分认定表………………………………………………….408、试验与采访………………………………………………..41走进奇妙数学世界──数学研究型课题报告课题组组长:陈奕樽课题组成员:侯智贤,陈义明指导老师：张江涛前言:数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单的说,是研究数和形的科学。由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。1+1=2、概率、勾股定理、黄金分割点等都是数学中极具代表性的知识，我们此次所做的研究性报告便是对这些知识的描述与探究。从中可以体验到真正的数学世界的奇妙与伟大。1+1=2小学生都知道的伟大公式2004年10月，一条科学新闻在国内的媒体上不胫而走：“1+1=2入选最伟大的公式。”原来，英国著名的科学杂志《物理世界》此前举行了一场别开生面的评选活动，邀请世界各地的读者选出自己心目中最伟大、最喜爱的公式、定理或定律。结果，让很多人意外的是，1+1=2这个连小学生都知道的基本数学公式不仅入选，而且还高居第七。一个加拿大读者说出了他的理由：“这个最简单的公式有着一种妙不可言的美感。”此次评选活动的主持者则这样评价到：“一个伟大公式的力量不仅论述了宇宙的基本特性并传达了标志性的信息，而且还在尽力孕育出更多自然界的科学突破。”无独有偶，1971年，尼加拉瓜发行了一套纪念邮票《改变世界面貌的十个数学公式》，排在第一的赫然正是这个“1+1=2”。（看来它是很重要！！！）1+1=2之所以如此重要，原因在于它是一条关于“数”的基础公式。没有它，就根本不会有数学，更不要说物理、化学等其他自然科学了。数的出现早在蒙昧时代，人们就在对猎物的储藏与分配等活动中，逐渐产生了数的感觉。当一个原始人面对放在一起的3只羊、3个苹果或3支箭时，他会朦胧地意识到其中有一种共性。可以想象，他此时会是多么地惊讶。但是，从这种原始的感觉到抽象的“数”的概念的形成，却经过了极其漫长的时间。一般认为，自然数的概念的形成可能与火的使用一样古老，至少有着30万年的历史。现在我们无法考证，人类究竟在什么时候发明了加法，因为那时没有足够详细的文献记录（也许文字也刚刚诞生）。但加法的出现无疑是为了在交换商品或战俘时进行运算。至于乘法和除法，则必定是在加减法的基础上搞出来的。而分数应该是处于分割物体的需要。应该说，当某个原始人第一个意识到1+1=2，进而认识到两个数相加得到另一个确定的数时，这一刻是人类文明的伟大时刻，因为他发现了一个非常重要的性质——可加性。这个性质及其推广正是数学的全部根基，它甚至说出数学为什么用途广泛的同时，告诉我们数学的局限性。人们现在知道，世界上存在三类不同的事物。一类是完全满足可加性的量。比如质量，容器里的气体总质量总是等于每个气体分子质量之和。对于这些量，1+1=2是完全成立的。第二类是仅仅部分满足可加性的的量。比如温度，如果把两个容器的气体合并在一起，则合并后气体的温度就是原来气体各自温度的加权平均（这是一种广义的“相加”）。但这里就有一个问题：温度这个量不是完全满足可加性的，因为单个分子没有温度。世界上还有一些事物，他们是彻底拒绝可加性的，比如生命世界里的神经元。我们可以将容器里的分子分到两个容器，使得每个容器里的气体仍然保持有宏观量——温度、压强等。但是，我们对神经元不能这样做。我们每个人都会产生幸福、痛苦之类的感觉。生物学告诉我们，这些感觉是由神经元产生的。但是，我们却不能说，某个神经元会产生多少幸福或痛苦。不仅每个神经元并不具备这种性质，而且我们也不能将大脑劈成两半，使得每个半球都有幸福或者痛苦感。神经元不是分子——分子可以随时分开或者重组，神经元具有协调性，一旦将他们分开，生命就会终结，不可能再组合（你可以自我实验下-.-）。目前的数学尽管已发展了5000年，却仍主要建立在可加性的基础之上。遇到这些不满足可加性的问题时，我们常常觉得很难用数学来处理。这正反映了数学的局限性。另一种“1+1”数学上，还有另一个非常有名的“（1+1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。尽管听起来很神奇，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就就能理解其含义.原来，这是18世纪时，德国数学家哥德巴赫偶然发现，每个不小于6的偶数都是两个素数之和。例如3+3=6；11+13=24。他试图证明自己的发现，却屡战屡败。1742年，无可奈何的哥德巴赫只好求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想。欧拉很快回信说，这个猜想肯定成立，但他无法证明。有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算，一直算到了330000000，结果都表明哥德巴赫猜想是对的，但就是不能证明。于是这道每个不小于6的偶数都是两素数之和[简称（1+1）]的猜想，就被称为“哥德巴赫猜想”，成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。19世纪20年代，挪威数学家布朗用一种古老的数学方法“筛法”证明，每一个大于6的偶数可以分解为一个不超过9个素数之积和另个不超过9个素数之积的和，简称“（9+9）”。从此，各国数学家纷纷采用筛法去研究哥德巴赫猜想。1956年底，已先后写了四十多篇论文的陈景润调到科学院，开始在华罗庚教授指导下专心研究数论。1966年5月，他象一颗璀璨的明星升上了数学的天空，宣布他已经证明了（1＋2）。1973年，关于（1+1）的简化证明发表了，他的论文轰动了全世界数学界。“（1+2）”即“大偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和”，被国际公认为“陈景润定理”。陈景润(1933.5~1996.3)是中国现代数学家。1933年5月22日生于福建省福州市。1953年毕业于厦门大学数学系。由于他对塔里问题的一个结果作了改进，受到华罗庚的重视，被调到中国科学院数学研究所工作，先任实习研究员、助理研究员，再越级提升为研究员，并当选为中国科学院数学物理学部委员。1996年3月下旬，由于积劳成疾，在距离哥德巴赫猜想的光辉顶峰只有咫尺之遥时，陈景润却倒下了，给世人留下无尽遗憾。概率【概率的定义】随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。■概率的频率定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。■概率的严格定义设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……■概率的古典定义如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验，成为古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。■概率的统计定义在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（JocobBernoulli，公元1654年～1705年）。从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。【生活中的实例】普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：■1.六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年後获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。■2.生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大於50％。■3.轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色後，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有「记忆」，它不会意识到以前都发生了什麼，其机率始终是18/37。■4.三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门後面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的後面有一辆汽车，其它两扇门後是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。【概率的两大类别】■古典概率相关古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。■几何概率相关集合概率若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的，还必须考虑试验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示，其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的，其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。如一维空