数学模型C卷参考答案2

《数学模型》C卷参考答案及评分标准一、简答题（每题5分，共20分）1、什么是数学模型？答：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。（5分）2、什么是Logistic模型？答：Logistic模型即人口阻滞增长模型，是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口起阻滞作用下建立的模型。表达式如下：)1(mxxdtdxxr（5分）3、按照建立模型的数学方法可做几种典型分类？答：初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型。（5分）4、数学建模能培养学生哪些方面的能力？答：丰富的想象力、敏锐的洞察力、类比法、理想化方法、直觉、灵感、数学运算逻辑推理能力。（5分）二、甲、乙、丙三人经商，若单干，每人获利1元，甲、乙合作可获利7元，甲、丙合作可获利5元，乙、丙合作可获利4元，三人合作可获利10元，问三人合作时怎样合理分配10元收入。（16分）解：依题意得：甲、乙、丙三人记为I={1，2，3}，经商获利定义为I上的特征函数即：7)2,1(,1)3()2()1(,0)(vvvvv，.10)(,4)3,2(,5)3,1(Ivvv容易验证满足Shapley值条件。（10分）甲、乙、丙三人合作获利10元。用Shapley值作为效益分配，甲应分得的份额)(1v的结果列入下表：s1{1,2}{1,3}Iv(s)07510v(s\1)0114v(s)-v(s\1)0646|s|1223w(s)1/31/61/61/3w(|s|)[v(s)-v(s\1)]1/312/32得到4)(1v元。同理可以计算到.5.2)(,5.3)(32vv可以验证)(10)()()(321Ivvvv，于是甲、乙、丙三人获利分配分别对应为4、3.5、2.5元。（10分）三、生产安排（20分）某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：品种原材料（千克）能源消耗（百元）劳动力（人）利润（千元）甲２１４５乙３６２６现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人，试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件）,使获得利润最大，并求出最大利润.解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为ZyxyxyxyxyxtsyxS,,0,020002424006140032..65max（10分）模型的求解：方法一：图解法.可行域为：由直线0,0200024:24006:140032:3:21yxyxlyxlyxl及组成的凸五边形区域.直线Cyxl65:在此凸五边形区域内平行移动.易知：当l过31ll与的交点时，S取最大值.由200024140032yxyx解得：200,400yx320020064005maxS（千元）(答略)（10分）四、融雪时间（20分）一个顶角为900的锥体状雪堆，其体积融化的速率与锥面面积S成正比，其比例系数为)0(kk.假设雪在融化过程中始终保持锥状.已知高为0h的雪堆在开始融化的1小时内，融化了其体积的6437.试求雪堆全部融化需要的时间。答：如图.假设雪在融化过程中始终为顶角为900的圆锥体.其高为)(th，底面半径为)(tr.（)(th、)(tr均为时间t的函数）.于是)()(trth.在时刻t时，圆锥体积、锥面面积分别为：)(3131)(32thhrtV)(2)()()()(222ththththrltS（1）由假设条件，体积变化的微分方程模型为：003031)0()()(hhhVtksdttdV或……（2）再由（1）得：0)0(2)(hhkdttdh（10分）解得：kthth2)(030)2(31)(kthtV又由已知条件)0()64371()1(VV.而3031)0(hV,30)2(31)1(khV45or3030316427)2(31hkhkh240故ktkth224)(.雪堆全部融化0)(th0224ktk得4t（小时）（10分）五、截割方案（20分）有一批１米长的合金钢材.现要截割成长为２７厘米和１５厘米两种规格.试确定截割方案（即一根１米长的钢材截几根２７厘米和几根１５厘米的材料），使钢材利用率最高.并求出最高利用率.解：设1米长的钢材截27厘米的x根,15厘米的y根.则此问题的数学模型为:Zyxyxyxtsyx,,0,1001527..1001527max（10分）模型的求解:方法1:在区域115.027.0,0,0yxyx内确定出与直线115.027.0:yxl最近的格点；方法2:由1527100xy穷举.求解结果:3,2yx.最高利用率：%99100315227max.（10分）