数学模型第六章

９４第六章代数模型线性代数在许多问题的解决中起着十分关键的作用,本章主要讨论以向量和矩阵为工具的数学模型.§6.1投入产出模型6.1.1投入产出表及其相关概念在对某地区作经济分析时，把该地区视作一个国民经济系统,把其分为若干个部门.各个经济部门在进行经济活动时的消耗称为投入,例如：原材料，设备，能源等.而各经济部门在进行经济活动时的成果称为产出.如，产品.农作物等.反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型称为投入产出模型.投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里·列昂节夫(WassilyLeontief)于1936年所创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖.投入产出模型由投入产出表(或称平衡表)与平衡方程构成，按计量单位分为价值型和实物型.我们在这里只介绍价值型投入产出表.投入产出表通常是以年度为单位编制的.规模可以是全国，也可以是某地区或某企业.表6.1.1是一张价值型投入产出表.表6.1.1价值型投入产出表部门间流量消耗部门最终产品总产品12…n消费积累出口合计生产部门12nx11x21xn1x12x22xn2…………x1nx2nxnny1y2ynx1x2xn净产值劳动报酬v1v2…vn纯收入m1m2…mn合计z1z2…zn总产品价值x1x2…xn９５最终产品是指本年内不再加工，可直接提供给人们消费或积累或出口的产品;本年内需再加工的产品称为中间产品;纯收入是指利润与缴税款;净产值是指劳动报酬与纯收入之和,也即总产值减去中间消耗;价值型投入产出表以货币单位为计量单位;总产品是指每个部门的全部产品,在价值型投入产出表中,也即是每个部门的总产值.投入产出表主要由三大部分组成.第一部分是表中左上部分,部门间流量xij.我们把国民经济分解为n个部门，每个部门都有双重身分.一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品.另方面，它的产品也要分配给各部门使用.用ijx表示部门j在本年度生产过程中对部门i的产品的消耗价值量.也即是本年度内部门i分配给部门j的产品价值量.称为部门间流量.例如x23=560(万元),表示本年度内生产部门2分配给生产部门3的产品价值量有560(万元);同时,也说明本年度内生产部门3消耗了生产部门2提供的560(万元)的产品.第二部分是表中右上部分,最终产品iy.iy表示部门i的总产值扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量.第三部分是表中左下部分,净产值Zj.设部门j的劳动报酬为jv，纯收入为jm，则jjjmvz,j=1,2,…,n.另外,部门j的总产值记为xj，j=1，2，……，n.投入产出表具有两个平衡关系:总产品=中间产品+最终产品总产值=中间消耗的价值+净产值由此获得两个平衡方程分配平衡方程iinjijxyx1,i=1，2，……，n,(6.1.1)反映部门i的分配情况.９６消耗平衡方程jjniijxzx1,j=1，2，……，n,(6.1.2)反映部门ｊ的消耗情况.从(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得综合平衡方程njjmiizy11,(6.1.3)6.1.2直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念.部门j所生产的单位价值的产品对部门i的产品的直接消耗量为jijijxxai，j=1,2,3……,n(6.1.4)称为部门j对部门i的直接消耗系数，而nnij)a(A称为直接消耗系数矩阵，aij的大小在很大程度上反映出部门j对部门i的依赖程度.从(6.1.4)得jijijxax，把它代入(6.1.1)得(6.1.5)njiijijxyxa1i=1,2,3….,n(6.1.5)设TnTn)y,...,y,y(Y)x,...,x,x(X2121,,得AX+Y=X即(I-A)X=Y(6.1.6)再由(6.2)得(niija1)jx+jz=jxj=1,2…..,n(6.1.7)1-niija1=jjxz0(6.1.8)９７可见aij具有性质：(1)10ija，(2)niija11(j=1,2,..,n),即A矩阵每列的列和均小于1.以下我们证明一个结论.定理6.1.11AI必存在.证明：(反证法)设|I-A|=0，则I-A各行向量线性相关从而有不全为0的系数nddd,.....,,21，使0..,0,0,a..a.aa.a.a....a...a.ad,d..,d,dnnnknkn.kkknknk11111111121令}1{ni,dmaxdik，则kd0(id不全为0)上述方程组中第k个方程为0....1.....2211nknkkkkkadadadad解出iniikkdad1kniikkniiikniiikkdaddadad111(11niika)kkdd，矛盾，说明0AI，1AI必存在.证毕.从而(6.1.6)可写成YAIX1(6.1.9)模型(6.1.9)的作用.此式当然是已知A与Y，求X，但你可能会说必须先有X才能求出A.通常的做法是利用上一年的直接消耗系数矩阵A略作修改(常用RAS方法修改A)后，作为本年度的A，再给出本年度的最终需求Y，进而求出本年９８度各部门的总产值X，以此为生产计划的依据.6.1.3完全消耗系数定理6.1.2设A是直接消耗系数矩阵,.0,)(1CIAIC则证明:先定义一个矩阵函数（称为矩阵范数）11()maxnijjniNAa,则22()max()max()()(max)(())ikkjikkjkjjjjikkikNAaaaaNAaNA一般地,由数学归纳法可得()(())kkNANA,(k=1,2,…).010()1ijiaNA，,(())0,()kNAk从而))((0kAk零矩阵,又因12))((kkAIAIAAAI令k,得IAIAAAI))((32.132)(AIAAAI1321)(kkAAAAIAIC0,001.CAijkka.证毕.由(6.1.9)得YCYYICYAIX)()(1特别令nnkjTjCCY)(,)00100(并设,则00100001000010011njkjjnjkjjCCCCCCX即)(1)(jkCjkCxjjkjk,(6.1.10)９９(6.1.10)式说明了为了使部门j多生产1个单位价值的最终产品,部门k就要多生产Ckj个单位价值的周转产品供各部门生产过程消耗用,这种消耗包含了直接消耗与间接消耗,故我们把Ckj称为完全消耗系数,矩阵C称为完全消耗系数矩阵.完全消耗包含了直接消耗与全部间接消耗.以下以自行车生产过程对电的消耗为例说明完全消耗的概念.如图6.1.1图6.1.1中,在生产自行车时,加工零件和装配零件的过程需要耗用电,比如说每辆用电32度,这是自行车对电的直接消耗;另外,还需消耗钢材,轮胎和设备等,而这些东西在生产过程中,自然也消耗电,这是自行车经过了一个中间环节对电的消耗,我们称为第一次间接消耗,比如说每辆自行车用了20kg钢管,而生产这些钢管时用了25度电,那么,这25度电就是自行自行车钢材轮胎设备电钢电橡胶电钢材电生铁电煤电钢电第一次间接消耗直接消耗第二次间接消耗图6.1.1１００车对电的第一次间接消耗的其中一部分.同理,可说明第二次间接消耗和第三次间接消耗等等.间接消耗是指各次间接消耗之和.完全消耗是直接消耗与间接消耗之和.各次间接消耗又是与直接消耗密切关联的.可以证明,第一次间接消耗系数矩阵为A2;第二次间接消耗系数矩阵为A3;一般第k次间接消耗系数矩阵为Ak+1.因此,完全消耗系数矩阵=CAAAAkk132.例6.1.1设有一个经济系统包含三个部门,在某一年内,各部门的直接消耗系数矩阵A与最终产品Y已知为17590245,2.01.01.01.02.02.01.01.025.0YA算出1160170200190118034018018012608911)(1AI完全消耗系数矩阵2691702001902893401801803698911)(1IAIC各部门总产值是TYAIX)300,250,400()(1§6.2效益分配模型在社会活动或经济活动中,若干实体(个人或企业)相互合作,常常能比他们单独行动获得更多的利益.确定合理的分１０１配方案是促成合作成功的前提.例6.2.1设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利1元；若甲乙合作,可获利7元,甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作可获利10元.问三人合作时应如何合理分配10元的利益.由题可见，有甲参加的合作，获利最大，7+5=12，有乙参加的合作，获利次之，7+4=11，有丙参加的合作，获利最小，5+4=9，可见，在合作中，甲贡献最大，乙次之，丙最小.故在分配利益时，应考虑与贡献联系起来.具体如何分配，这方面的问题就是n人合作对策问题.6.2.1n人合作对策与特征函数设有n个局中人的集合I={1，2，……，n}，对I中任一子集S，定义一实函数V(S)满足条件：（a）)(V=0;（b）当ISISSS2121,,时，)()()(2121SVSVSSV(称为超可加性)二元体[I，V]称为一个n人合作对策,V(S)称为该对策的特征函数，描述合作的效益.在例6.2.1中，V(甲)=V(乙)=V(丙)=1，V(甲乙)=7V(甲)+V(乙)，V(甲丙)=5V(甲)+V(丙)，V(乙丙)=4V(乙)+V(丙).5((6((8((10(甲）乙丙）乙）甲丙）丙）甲乙）甲乙丙）VVVVVVV注：①条件(b)称为超可加性，描述了“团结力量大”的道理.②在合作对策中，假定参与结盟的各个成员都齐心协力，以保该结盟获得最大的利益.③有时也称V为合作对策.6.2.2n人合作对策的解n人合作对策的解是指对总体结盟所获利V(I)的一个分１０２配方案.用)V(i表示局中人i从合作V中获得报酬，))(,),(),(()(21VVVVn为一个分配方案，则)(Vi至少应满足：①个体合理性：)i(V)V(i,Ii即合作优于单干②总体合理性：Iii)I(V)V(一般地，n人合作对策有很多解，如何获得一个更合理的唯一解.Shapley在1953年提出了Shapley值三公理.①对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为I的一个排列，则)()(VVii(i=1，2，……，n)其中πV为重排序后的特征函数.i为重排后原局中人i的新编号;②有效性.(a)若成员i对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的分配应为0.即若IS，V(S)=V(S-{i})，则0)V(i(i=1,2,……,n)这种局中人称为零局中人(nullplayer);(b)完全分配nii)I(V)V(1;③可加性对I上任意两个特征函数U与V()()()UVUV即若n人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作分配之和.满足上述三公理的)V(i称为Shapley值，Shapley证明了对任一n人合作对策，Shapley值是唯一存在的且)()()()(iSVSVSWVISiii=1，2，…,n(6.2.1)其中!n)!S()!Sn(|)S(|W1,S为集S的元素个数,１０３(6.2.1)给出了