数学模型试题2006-2007-1-A-ans

试卷编号：1-A第1页共9页天津理工大学考试试卷2006～2007学年度第一学期《数学模型》期末考试试卷评分标准课程代码：1502011试卷编号：1-A命题日期：2006年12月8日答题时限：90+60分钟考试形式：开卷、笔试+机试得分统计表：大题号总分一二三四五一、填空题（每小题4分，共16分,必答题）得分（1）．建立数学模型的全过程是一个由表述、求解、解释、验证的迭代过程，其中表述是指：根据建模的目的和掌握的信息，将实际问题用数学语言确切地表述出来；求解是指：选择适当的数学方法求的数学模型的解答；解释是指：把数学语言表述的解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答；验证是指：用现实对象的信息检验得到解答，以确认结果的正确性。(2)“线性规划”问题),,2,1(0.min2211nixbAxtsxcxcxcZinn的基最优解是指既是最优解又是可行解的向量x。其中可行解是指满足约束条件bAx的向量x；最优解是指使目标函数nnxcxcxcZ2211达到最优的可行解。根据“基最优解存在定理”，若线性规划问题有最优解，则至少在某个基本最优解上找到；若两个解)2()1(,xx均是最优解，则它们的凸组合)2()1()1(xx)10(也是最优解，此时最优解有无穷多个。(3)“动态规划”的过程是一个多阶段的决策过程。所遵循的最优性原理是：最优决策序列的每一个截断仍是最优的。所谓“最优轨线”是指：最优决策序列从前往后所历经的状态序列。求解动态规划的“逆序算法”是指：依据基本方程，从后往前逐步递推求得最优决策序列或轨线的过程。(4)运用“层次分析法”建立的数学模型一般是由目标层、准则层和方案层构成的一个从上至下彼此关联递接的层次结构。试卷编号：1-A第2页共9页二、（本题14分）得分已知某宠物饲养基地饲养的种犬对饲料中的三种成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每只犬每天至少需要蛋白质700克，钙质30克，维生素100毫克。由于目前市场上没有专用饲料，该基地不得不从市场上购买5种不同品牌的饲料S1、S2、S3、S4、S5加工成混合饲料，该买5种不同品牌的饲料料1千克中所含营养成分及市场价格如下表所示饲料营养成分价格（元/千克）蛋白质（克）钙质（克）维生素（毫克）S1310.52S2200.517S3100.20.24S46223S5180.50.85请建立用来确定：即能满足该动物生长需要，又使总成本最低的混合饲料配方的数学模型，。（注：不必具体求解，但要写出求解的MATLAB语句。）解：设每只犬每日所需混合饲料中含饲料S1、S2、S3、S4、S5的量分别为54321,,,,xxxxx千克--2分目标函数：minz5432153472xxxxx-----3分约束条件：7001861020354321xxxxx305.022.05.054321xxxxx1008.022.05.054321xxxxx5,4,3,2,1,0ixi-----10分3,4,7,2c;100,30,700b;8.0,2,2.0,1,5.0;5.0,2,2.0,5.0,1;18,6,10,20,3A;Aeq=[];beq=[];lb=[0;0;0;0;0;0];ub=[];[X,eflag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f=c*X----14分试卷编号：1-A第3页共9页三、（本题共15分）得分某人外出旅游，需将12件物品有选择地装入行李袋，其最大负荷为30kg.若设第i件物品的重量为ia,使用价值为ic，试建立：能求使其所选物品使用价值最大的装包方案的动态规划模型。（要求：写出阶段变量、决策变量、状态变量、状态转移方程、阶段评价指标函数、过程评价指标函数、逆向递推的基本方程。）解：阶段变量：12,,2,1k决策变量：kx选择第k件物品是否装入1,0kx------2分状态变量：ks选择第k件物品时行李袋中允许装入的重量------4分状态转移方程：kkkkxass1，0,30131ss------6分阶段评价指标函数：0,01,),(kkkkkkkkxxcxcsxr---选择选择第k件物品的使用价值--8分过程评价指标函数：)(kksf选择第k个至第12个物品的总使用价值的最大值--10分逆向递推的基本方程：1,2,,11,120)()()()(131312121212111,0maxksfxcsfsfxcsfkkkkxkkk---15分试卷编号：1-A第4页共9页四.解答题（15分）得分(1)设卫星绕地球作匀速圆周运动，地球的质量为M，地球半径为R,,地球表面的重力加速度为g。若运载火箭将卫星送往离地面的距离为h的运行轨道，求运载火箭的末速度的计算公式。并计算h=600km时的末速度（重力加速度为2/8.9sm）。(2)设一级火箭做垂直向上的直线运动，t时刻的飞行速度为)(tv，质量为)(tm。初始质量为pfsmmmm0，其中sm为结构质量，fm为燃料的质量，pm为搭载卫星的质量。火箭喷出的气体相对于火箭的速度为常数skm/3。忽略重力和空气阻力的影响，求飞行速度)(tv的计算模型。若0pm，结构比101fssmmm，计算燃料耗尽时刻的末速度，并由此证明了什么？解：（1）设地球为均匀的球体，其质量为M全集中在地心卫星在地表时，地球对卫星的引力等于卫星的重量：mgRkMm2（1）--1分卫星在离地面的距离为h的运行轨道上时，向心力=引力：22hRkMmhRmv（2）--3分由（1）式知：MgRk2代入（2）式得：hRgv（3）--5分取kmhkmRsmg600,6400,/8.92，代入（3）得：skmv/6.7--6分（2）火箭在t到tt时刻的动量的增量=消耗掉的燃料喷出气体的动量)()()()()()()(tvttmtmtvtmttvttm（4）--7分ttvttmtmttvtmttvttm)()()()()()()(上式两端取极限lim0t并化简得：dtdmdtdvm解微分方程：0)0(,0)0(mmvdtdmdtdvm得：)(ln)(0tmmtv（5）--9分引入结构比：fssmmm，则由pfsmmmm0试卷编号：1-A第5页共9页知当火箭燃料消耗完毕时0fm：)(tmpsmm此时火箭的末速度mvpspfsmmmmmln（6）--11分若火箭不搭载卫星（0pm）则mvln1lnlnsfsmmm（7）--13取：skm/3，101代入（7）式得：skmvm/7由于skmskmvm/6.7/7这说明：即使一级火箭不搭载任何质量，它自己本身就达不到能使卫星在离地面的距离为600km高度运行的最低末速度skm/6.7，也就证明了：用一级火箭发射卫星的不可能性。----15分五.解答题（10分）得分若某系统L由下列“一用一备”的n个相同的工作单元D1,…,Dn串联构成。……D1Dn原件X的寿命X服从参数为1指数分布，备件Y的寿命Y服从参数为2指数分布，定义元件X的可靠度)()(tXPtR，失效率)()()(tRtftr（1）建立计算每个工作单元Di的可靠度和失效率的模型。（2）建立计算整个系统L的可靠度的模型。解：（1）因为原件X的寿命X服从参数为1指数分布，故X的密度函数0,0,)(111〉xxfex，分布函数)()(1tXPtF=tie11则原件X的可靠度tetFtXPtR1)(1)()(11，失效率1111)()()(tRtftr同理：备件Y的可靠度tetFtYPtR2)(1)()(22，失效率2222)()()(tRtftrX1YX1Y试卷编号：1-A第6页共9页每个工作单元的寿命YXZ的分布密度)(*)()(21tftftfZ每个工作单元的可靠度：)(1)()(tYXPtYXZPtRdxxtftft2011dxdxtxtxttteeee0)(21)(2012212111)1(1221)(1eetteett)(112111eetttR)(112111)(（1）--------4分每个工作单元的失效率：eeeettttztRtftr)(11)(112112111)()()(（2）--------6分（2）系统L由n个相同的工作单元D1,…,Dn串联构成设)(tRi——第i各单元的可靠度，i=1,2,3,…,n，iD第i各单元的寿命。显然：)(tRi=eett)(112111，i=1,2,3,…,n系统L的可靠度：),,,()(21tDDDMinZPtRnLL=)(1tRininttee)(112111nttLeetR)(112111)(（3）--8分系统L的失效率：nttnLnLeeffftRffftr)(1121212111***)(***)(（4）--10分六.上机题（共两题，从中任选一题，满分40分。写出简要过程，解题程序网上提交。）得分第一题：设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品的价格的统计数据如下：需求量10075807050659010011060平均收入20001600180015009001000150013001200700商品价格5766875439试卷编号：1-A第7页共9页（1）求需求量随消费者平均收入变化的规律？并预测消费者平均收入为1500的需求量。（要求：写出模型及预测结果）--10分Y=-0.0004X^2+0.6062X-203.3461;Y(1500)=78.6027（2）求需求量随商品价格变化的规律？并预测商品价格为6时的需求量。（要求：写出模型及预测结果）---20分Y=0.6356X^3-10.8851X^2+47.7825X+46.2147Y(6)=78.3333（3）求需求量随消费者平均收入及商品价格的变化规律？并预测消费者平均收入为1500，商品价格为6时的需求量。（要求：写出模型和预测结果，并将预测结果以图像展示）Y=90.3819-0.0195X1-29.6701X2+1.7360X2^2Y(1500,6)=75.5558答题程序名：Ttest6-1.m—40分X1=[2000,1600,1800,1500,900,1000,1500,1300,1200,700]';X2=[5,7,6,6,8,7,5,4,3,9]';Y=[100,75,80,70,50,65,90,100,110,60]';X=[X1,X2];XX=[ones(10,1),X1,X2,X1.^2,X2.^2];subplot(1,2,1)plot(X1,Y,'ko')xlabel('平均收入','FontSize',16)ylabel('需求量','FontSize',16)subplot(1,2,2)plot(X2,Y,'r*')xlabel('价格','FontSize',16)ylabel('需求量','FontSize',16)%1元3次多项式模型[p1,S1]=polyfit(X1,Y,3)[p2,S2]=polyfit(X2,Y,3)YC1=polyval(p1,1500)YC2=polyval(p2,6)%2元线性模型[xb,xbnit,xr,xrint,xstats]=regress(Y,X