数学模型试题2008-2009-1-A—ans

试卷编号：1-A第1页共7页天津理工大学考试试卷2008～2009学年度第二学期《数学模型》期末考试试卷评分参考标准课程代码：1502011试卷编号：1-A命题日期：2009年5月26日答题时限：120分钟考试形式：开卷、笔试+机试一．填空题（每小题5分，共15分）．1．设某种物资有两个产地21,AA，其产量分别为10、20，两个销地21,BB的销量相等均为15。如果从任意产地到任意销地的单位运价都为1。设ijx表示产地i运往销地j的运量，则求最优运输方案的数学模型为：15152010.22122111222112112121xxxxxxxxstxMaxijij2．设某区域开始时的人口数为0x，时刻t的人口数为)(tx，若区域允许的最大人口数为mx，人口增长率r为，则该区域人口增长问题的逻辑斯蒂克模型为0d(1),(0).dmxxrxxxtx3.一个刚获得学位的大学毕业生，在择业问题上，通常会从以下几个方面来考虑：收入丰厚；适合个人兴趣；发展前景广阔；地理位置优越。若有三个就业岗位可选，建立该择业问题的AHP模型为：试卷编号：1-A第2页共7页二．简答题（每小题5分，共20分）．1．用流程图法简述数学建模的一般步骤。2．地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示。解：撤离时人员的分布状态S、人员总数N、撤离速度v、人们之间相对拥紧程度r、人员所在地与安全地点的距离L、人员撤离完毕所需要的总时间t等。3．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2008年底时有1200个病人，到2013年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试建立差分方程模判断这个说法的正确性。解：令nX为从2008年起计算的n年后患者的人数，可得到递推关系模型：10005.01nnXX得递推公式：).211(2000210nnnXX由,12000X可以算出2010年时的患者数19755X人.L=lim2000nnX,说明无论多少年过去，患者人数只是趋向2000，但不会超过2000人。4．交法规定：驾驶员血液中酒精的浓度不得超过80/100)/(mlmg。一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),/(100/56mlmg又过两个小时，含量降为),/(100/40mlmg试建实际问题抽象、简化（建立假设，引入符号）依据问题的内部机理，运用恰当的数学手段，建立数学模型使用适当的数学工具解析地或数值地求解数学模型，得出结论。结论符合实际？交付使用试卷编号：1-A第3页共7页模判断：当事故发生时，司机是否酒后驾车。解：设)(tC为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为：,/kCC其通解是,e)0()(ktCtC而)0(C就是所求量.由题设可知,40)5(,56)3(CC故有56e)0(3kC和,40e)0(5kC此解得.94e56)0(17.040/56e32kkCk可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定，属于酒后驾车。三、解答题（每小题15分，共45分）1．时令性商品的销售往往具有节气性。节气内商品的售价高于进价，销售的越多利润越高；过了节气商品的售价低于进价，销售的越多亏损越大。经营者往往根据历史上该节气的销量估计本节气的进货量，而销量是由需求量决定的，需求量是一个随机变量。设某时令性商品在节气内销售一个单位产品净赚a元，过了节气销售一个单位产品净赔b元。据历史上统计该商品的需求量X的分布密度函数为)(xf，试建立确定本节气内的适当进货量h的使得经营者能赚取最大利润的数学模型。并分析能赚取最大利润的条件。解：利润:hXahhXbXhaXXR,,)()(利润的期望:hhdxxahfdxxfbxhaxXRE)()()())((0=hhdxxahfdxxfbxbhax00)(1)(=hhdxxfhdxxxfbaah00)()()(令hdxxfbaadhXRdE0)()())((=0解得：baadxxfh0)(又0)()())((22xfbadhXREd故满足baadxxfh0)(的h即为所求。2．某种资源总量为M单位，分配给10个使用者使用。假设分配给第i个使用者的数量为ix单位，产生的效益用函数)(iixry来衡量，并假设资源分配无剩余。试建立该问题的动态规划模型，用以确定总收益最大的分配方案。试卷编号：1-A第4页共7页（要求：写出阶段变量、状态变量、决策变量、状态转移方程、阶段评价指标函数、逆向递推的基本方程。）解：阶段变量：1,2,,10k决策变量：kx分配给第k个使用者的资源量状态变量：ks可分配给第k个至第10个使用者的资源量状态转移方程：1kkkssx，111,0sMs阶段评价指标函数：(,)(,)kkkkkkrxsrxs---选择选择第k件物品的使用价值过程评价指标函数：)(kksf分配给第k个至第10个使用者的资源的最大效益逆向递推的基本方程：110,1101010101111()()()()()()010,9,,2,1maxkkkkkkkxfsrxfsfsrxfsk3．设某系统L由相互独立的两个子系统L1、L2构成。其中L1由n个工作独立的原件串联而成，L2由n个工作独立的原件串联而成。若系统L由子系统L1、L2并联构成，求系统L的可靠度。L：L1：L2：原件iX的寿命iX服从参数为i指数分布，i=1,2,3,…,n；原件iY的寿命iY服从参数为i,威布尔分布，i=1,2,3,…,n；定义元件X的可靠度)()(tXPtR，失效率)()()(tRtftr。解：因为：原件i的寿命iX的服从参数为i指数分布，i=1,2,3,…,n故iX的分布函数)()(tXPtFii=tie1，则原件iX的可靠度L1L2Y1Y2Y3YnX1X2X3Xn试卷编号：1-A第5页共7页tiiXiietFtXPtR)(1)()(因为原件iY的寿命iY服从参数为ii,威布尔分布，i=1,2,3,…,n故iY的分布函数)()(tYPtGii，原件iY的可靠度tiiYiietGtYPtR)(1)()(子系统L1的可靠度：),,,()(2111tXXXMinZPtRn=)(1tRiXni=tniie1=eniit1子系统L2的可靠度：),,,()(2122tYYYMinZPtRn=)(1tRiYni=tniie1L1、L2并联构成L，系统L的可靠度：)(tR)),((21tZZMaxZP))),((121tZZMaxP=))(1))(11)))())(12111tZPtZPtZPtZP=1)()(121tRtRemiit1tniie1四．上机题（共两题，从中任选一题，满分20分。写出简要过程，提交电子解题程序）第一题：设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品的价格的统计数据如下：（1）求需求量随消费者平均收入变化的规律？并预测消费者平均收入为1400的需求量。（要求：写出模型及预测结果）（2）求需求量随商品价格变化的规律？并预测商品价格为10时的需求量。（要求：写出模型及预测结果）（3）求需求量随消费者平均收入及商品价格的变化规律？并预测消费者平均收入为1500，商品价格为12时的需求量。（要求：写出模型和预测结果，并将预测结果以图像展示）需求量906570604055809010050平均收入20001600180015009001000150013001200700商品价格1716141412151312117试卷编号：1-A第6页共7页X1=[2000,1600,1800,1500,900,1000,1500,1300,1200,700]';X2=[17,16,14,14,12,15,13,12,11,7]';Y=[90,65,70,60,40,55,80,90,100,50]';X=[X1,X2];XX=[ones(10,1),X1,X2,X1.^2,X2.^2];subplot(1,2,1)plot(X1,Y,'ko')xlabel('平均收入','FontSize',16)ylabel('需求量','FontSize',16)subplot(1,2,2)plot(X2,Y,'r*')xlabel('价格','FontSize',16)ylabel('需求量','FontSize',16)%1元3次多项式模型[p1,S1]=polyfit(X1,Y,3)[p2,S2]=polyfit(X2,Y,3)YC1=polyval(p1,1400)YC2=polyval(p2,10)%2元线性模型[xb,xbnit,xr,xrint,xstats]=regress(Y,XX)xb,xstats%2元纯2次多项式模型rstool(X,Y,'purequadratic')第二题：购房贷款的利率-----非线性方程和迭代住房是居民消费的一个重要部分。对大多数工薪阶层来讲，用一次性付款的方式买房几乎是“天方夜谈”，所以大部分人往往采取银行按揭贷款的方式购房，然后在若干年内分期还款。下表是《今晚报》刊登的一则房产广告，请问该广告所刊登的房产的贷款利率实为几何？建筑面积（m2）总价（万元）30%首付（万元）70%按揭（年）月还款（元）105．986218．6302436有人如此计算：总借款:62-18.6=43.4万元30年内总还款：0.2436x12x30=87.6960万元年贷款利率:[（87.6960–43.4）÷30]÷43.4=3.402%（1）该计算正确否？为什么？（2）若不正确，建立计算实际贷款利率的数学模型，并计算该案例的实际贷款利率值。（要求：写出模型和本案例的实际贷款利率值）分析建模：设kx——第k月的欠款数a——月还款额r——月利率，年利率rR12则有如下迭代关系：试卷编号：1-A第7页共7页arxxxkkk1即axrxkk)1(1（1）按（1）式的迭代关系递推知axrxkk1)1(=aarxrk)1()1(22=…=])1()1()1(1[)1(120kkrrraxr=rraxrkk]1)1[()1(0(2)在本案例中:3600225143603600kxxa,,.,.代入(2)式得0]1)1[(1436.0)1(2.25360360rrr(3)高次代数方程(3)即为计算贷款月利率的数学模型.模型的求解：输入命令：Matlab语句》r=fzero(’25.2*(1+x)^360-0.1436*((1+x)^360-1)/x’,0.0198/12)》R=12*rR=0.0553即求得本案例的实际贷款年利率为5.53%.