数学物理方程第三章行波法与积分变换法word版

1第三章行波法与积分变换法(第十三讲)分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。§3.1一维波动方程的达朗贝尔（D’alembert）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy问题：.-),(u),(u0,,-,0t022222xxxtxxuatutt（1）作如下代换;atxatx,（2）利用复合函数求导法则可得22222222))((,uuuuuxuuuxuxuxu同理可得),2(22222222uuuatu代入（1）可得u2＝0。先对求积分，再对求积分，可得),(txud的一般形式)()()()(),(atxGatxFGFtxu这里GF,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知).()()(),()()(''xxaGxaFxxGxF（3）2由（3）第二式积分可得CdttaxGxFx0)(1)()(，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00CdttaxxGCdttaxxFxx所以，我们有atxatxdttaatxatxtxu)(21)]()([21),(（4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。例求解柯西问题：.,0,3,,0,032020xuxuxyuuuyyyyyxyxx解：其特征方程为0)(32)(22dxdxdydy由此可得特征线方程为dyxcyx3因此作变换yxyx,3从而可得u2＝0从而有)()3(),(yxGyxFyxu由初始条件可得0)()3(3)()3(''2xGxFxxGxF所以有CxGxF)(3)3(，3从而可得CxxGCxxF43)(49)3(22故而可知223)()3(),(yxyxGyxFyxu。二、特征方程、特征线及其应用考虑一般的二阶偏微分方程02FuEuDuCuBuAuyxyyxyxx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22dxCBdxdydyA。由前面讨论知道，直线常数atx为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(atxF在特征线1Catx上取值为常数值)(1CF，右行波)(atxG在特征线2Catx上取值为常数值)(2CG，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。注：此方法可以推广的其他类型的问题。（第十四讲）三、公式的物理意义由)()(),(atxGatxFtxu其中)(atxF表示一个沿x轴负方向传播的行波，)(atxG表示一个沿x轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a。因此此法称为行波法。四、依赖区间、决定区域、影响区域由方程的解（4）可以看出，解在（x,t）点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点（x,t）的依赖区间4对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at,如图（）则经过时间t后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为0,21tatxxatx而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。5补充：Fourier变换一、定义设)(xf为定义在),(，若积分dxexfsFisx)()(存在，称)(sF为)(xf的Fourier变换。dsesFxfisx)(21)(称为)(sF的逆Fourier变换。记dsesFsFFxfdxexfsFxfFisxisx)(21)]([)()()()]([1二、性质1．线性性质若已知),()]([),()]([2211sFxfFsFxfF则有).()()]()([2121sbFsaFxbfxafF2．对称性若)()]([sFxfF，则)(2)]([sfxFF。3．相似性若)()]([sFxfF，则)(1)]([asFaaxfF4．延迟性若)()]([sFxfF，则若0)()]([0isxesFxxfF5．频移性若)()]([sFxfF，则)(])([00ssFexfFxis，)(])([00ssFexfFxis。6．微分性若)()]([sFxfF，则)()](['sisFxfF，特别)()()]([)(sFisxfFnn。7．积分性若)()]([sFxfF，则)(1])([sFisdxxfF。8．卷积性若),()]([),()]([2211sFxfFsFxfF则)()()](*)([2121sFsFxfxfF。6第十五讲§3.3积分变换法举例例1、无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为),(txF的热源，杆的初温为)(x，求t0时杆上温度分别情况。解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：.-),(u0,,-),,(0222xxtxtxfxuatut很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。下面我们用Fourier变换法求解。用),(),,(tsGtsU表示),(),,(txftxu的Fourier变换，关于x对上方程作Fourier变换可得GUsadttsdU22),(此为一阶ODE，在由原问题的初始条件作Fourier变换可得上常微分方程的定解条件)(0sUt从而可得desGesUtsatsa)(2222),()(再利用Fourier逆变换可得原问题的解。由Fourier变换表知taxtsaetaeF22224121][再由Fourier变换的卷积性质知ttaxtaxdetfdadetatxu0)(4)(4)(2222),(21)(21),(。总结：积分变换法解定解问题的一般过程1．根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化；2．对所得简化问题求解；3．运用逆变换，求得原问题的解。例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C0，求杆上温度分布规律。解：由题意可知，等价于求下定解问题7),(u.0,0u0,,0,00222tfxtxxuatuxt此问题不能用Fourier变换法（？）。要用Laplace变换法求解。若关于x作Laplace变换，则需要有u关于x的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t的Laplace变换。记)}({)()},,({),(tfLpFtxuLpxU，则作Laplace变换可得)(0222pFUdxUdapUx从而可得xapxapBeAeU由定解条件知，当x时，U有界，从而可得Ｂ＝０．又)(0pFUx，故xapepFU)(为求原问题的解，下用Laplace逆变换，查表可知)0(1)}2({2)(2keptkerfcLdteyerfcpkyt令axk，则知taxypaxytdyetaxerfcepLdteyerfc222412)2(}1{2)(再由Laplace变换的微分性质知taxtaxypaxpaxetaxdyedtdeppLeL222242/341122[}1{}{最后，由Laplace变换卷积性知ttaxdetfaxtxu0)(42/322)(1)(2),(。8注：从例1和例2解的表达公式不难看出：函数taxetax2242对热传导问题起重要作用。令0t00t2),(2242/3taxetaxtxk则例1的解可写为ddtxkfdtxktxut0),(),(),()(),(此公式为Possion公式，称函数),(),;,(txktx为热传导方程的基本解。它表示在杆上处时刻的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。故有时称基本解为瞬时单位点热源的影响函数。例3．用Laplace变换法求解定解问题：.20,sin,0,0,0,20,02022xxutuutxxututxx解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记)},({),(txuLsxU，对方程做拉氏变换可得,0,sin2022xxUUxsUdxUd用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解20sinsxU又上常微分方程相应的齐次问题的通解为xsxsBeAeU1所以，上常微分方程的通解为2sinsxBeAeUxsxs，再由定解条件可得A＝B＝0，从而92sinsxU故而，原定解问题的解.sin}sin{}{),(2211xesxLULtxut。第十六讲例4．用积分变换法解定解问题22220009,0,0|cos,lim,0,0|0,|0,0xxttuuxttxutuxttuuxt解：对方程两端对t取Laplace变换，设0,,(,)stUxsLuxtuxtedt，可得222,,069dUxssUxsdx对定解条件的两端对t取Laplace变换，记0coscosstFsLttedt，则有：0,7lim,08xUsFsUxs由上解得：,9sxaUxsFse.对9的两端取Laplace逆变换求,uxt.11303,,coscos33sxxtuxtLUxsLLtexxtt第三章课后习题讲解