数学物理考试

三、简答题1、叠加原理：答：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就行。这叫作叠加原理。2、应用留数定理计算实变函数定积分类型二是什么？最后结果如何？答：.)(dxxf积分区间是),(；复变函数)(zf在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面时，)(zzf一致地0。留数之和在上半平面所有奇点的)(2)(zfidxxf3、本征值问题：答：泛定方程的边界条件要求方程中的参数只能取一些特定值，这个特定值就是本征值，相应的解叫作本征函数，泛定方程和边界条件构成本征值问题。4、写出施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质：答：（1）本征值321，相应的本征函数,)(),(),(321xyxyxy节点个数依次增加。（2）所有本征值0n。（3）banmnmdxxxyxy,0)()()(。（4）1)()(nnnxyfxf。5、复数形式的付里叶变换和积分：答：deFxfxi)()(，dxexfFxi*)()(6.如何求解下列一般的波动问题：).(),(),(),(),,(0002xuxutututxfuautttlxxxxtt6.答：（1）边界条件化为齐次),(),(),().()()(1),(txwtxvtxutxttltxv).()(),()(,0,0),,(),(000002xvxwxvx（2）利用叠加原理化成两个简单的定解问题).(),(,0,0,0),,(),(),(010110112121xwx0,0,0,),(202202222ttlxxxxtt长为的均匀杆两端受拉力作用而纵振动，写出边界条件.答：000000FxuYSnuYSFxuYSFxuYSnuYSlxlxxxx8.什么是常点邻域上的级数解。答：方程0)()(22wzqdzdwzpdzwd，)(),(zqzp在选定的点0z邻域Rzz0中解析，则方程在这圆域内存在唯一的解析解，00)()(kkkzzazw，ka由将级数代入方程导出递推公式和给定的条件确定。9.正则奇点邻域上的级数解的判定方程和级数解。答：0)1(21qspss，0011)()(kkskzzazw，0011)()(kkskzzbzw。10.什么是定解问题？答：边界条件和初始条件合称为定解条件，在给定的定解条件下，求解数学物理方程，这叫数学物理定解问题11.复数形式的球函数它的正交性。答：,3,2,1,0,,1,0,,1,)(cos),(llllmePYimmlmlsnkmlklnmddYY),.(0sin),(),(。12.如何处理一般的有界波动问题：答（1）边界条件化为齐次),(),(),().()()(1),(txwtxvtxutxttltxv).()(),()(,0,0),,(),(000002xvxwxvx（2）利用叠加原理化成两个简单的定解问题).(),(,0,0,0),,(),(),(010110112121xwx0,0,0,),(202202222ttlxxxxtt的均匀杆，两端有恒定热源流入，其强度为0q，写出这个热传导问题的边界条件。答：在边界上有nlxqnuK在lx端，lxnuK0qqxuKnlx即olxqxuK在0x端，lxnuK00qqxuKnx即oxqxuK014.弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力为tFRu（比例系数R叫做阻力系数），试推导弦在阻尼介质中的振动方程。答：12TTTxxdxxxtttTuTuRudxudxtttxxuRuTu即20ttxxtRuauu，其中2Ta15什么是本征函数的完备性？.答：本征函数族,),(,),(321yxyxy是完备的，这是说，函数)(xf如具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数所满足的边界条件，就可以展开为绝对且一致收敛的级数1)()(nnnxyfxf。四、计算题1.求回路积分22sin21zzzdz解：zzzf2cos2)(单极点40z在积分回路之内，Resf（-4）=4，Res4)4(f。222)4(Re)4(Re2sin21zisfsfizzdz2.已知解析函数f(z)的实部0)0(,),(22fxyyxyxu，.求实虚部和这个解析f(z)。、解：xvxyyuyvyxxu22Cxyxyvxyxyddv)(212),21212(2222iCzizzf2221)(，0,00)0(CiCf)21()(2izzf。3.将f(z)=11)(2zzf在Z0=1洛朗展开解：642222111111111zzzzzz。4.求f(t)=hrect(t/2T)的付里叶积分。Rectx=212101XX解：0cos)()(tdAxf，0sin2cos)(2)(ThdfA5.已知解析函数f(z)的虚部22),(yxxyxv，.求实部),(yxu和这个解析f(z)。解：,2sin2v.2sin2,2cos21.2cos2,2sin21uuvv).2cos2(dduCu2cos2czzf2)(6.将f(z)=zln在Z0=1的邻域上泰勒展开、解：,,!2)1(,!2)(,1)1(,!1)(,1)1(,1)(,21ln)1(,ln)()3(3)3(''2''''fzzffzzffzzfinfzzf)11(,3)1(2)1()1(2ln32zzzzinz7.计算定积分13coszzz。、解：被积函数的三阶极点00z在单位圆内，其留数，isfizzdzzdzdsfzz)0(Re2cos,21)(coslim!21)0(Re132208.试将)2(,0)2(,sin)(000NtNttAtf展开为傅立叶积分。解：)(tf是奇函数)2sin()(2sin)(2)(sin)()(0202000NAtdttfBtdBtf9.已知解析函数f(z)的虚部V=22yxy，f(2)=0.求f(z)解：sin1vuvuv1sin1cos1122,cos1),cos1(CudduzCzzf1211)(。10.将f(z)=Ze11在Z0=0泰勒展开解：,)0(,)(11efezfz;)0(,)1()('211'efzezfzefzzzezfz3)0(,)1(2)1()1()(''32211''；;13)0(,)1(6)1(4)1(2)1()('''455611'''efzzzzezfz（4分）,32!313!231()(zzzezf。11.计算定积分lZZdZ2211（l的方程是X2+Y2-2X-2Y=0）解：l的方程可化为：222)2()1()1(yx；41)1)((1)(Re2limzizisfiz,21)11()1(Re21limzdzdsfz;2)1(Re)(Re21122isfisfiZZdZl12.计算022cosdxaxmxI解：imzimzeazezF221)(有两个单极点ai，其中ai在上半平面。imzimzeazezF221)(在单极点ai的留数为aieazeaizmaimzaiz2])[(lim22022cosdxaxmxIiaiema2maea213.计算0222)(sindxaxmxxI解：imzimzeazzezG222)()(有两个单极点ai，其中ai在上半平面。imzimzeazzezG222)()(在极点ai的留数为ameazzeaizdzdmaimzaiz4])()[(!11lim22220222)(sindxaxmxxIamema4maeam4五、应用题1、半径为0r的半球，其球面上温度保持为cos0u，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。2、研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为0u，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求细杆上温度的变化。解：)0(,/0,0,00002lxlxuuuuuautlxxxxt)()(),(tTxXtxu0)(,0)0(0'''lXXXX02'TaT.sincos)(021xCxCxX.0cos,021lCC).,2,1,0(,)21(222klk).,12,0(,2)12(sin)(2kxlkCxX0)21(2222'TlkaT。2222)21()(ltakCetT.)21(sin),(0)21(222lxkeCtxukltkklxxlulxkCkk0(,.)21(sin00）..)21(21)21(sin222020kludlklulCk.)21(sin.)21(21),(0)21(2202222lxkeklutxukltk3、求解细杆导热问题，杆长l，初始温度均为0u，两端分别保持温度1u和2u解：002102,,0uuuuuuuautlxxxxt首先设法化去非齐次边界条件，令)(121uulxuwu)(0,0,01210002uulxuu有第一类齐次边界条件，它的解可写为tlannnexlnBtxw22221sin),()(sin)0,(12101uulxuuxlnBxwnnlnlB0[2dxxlnuulxuu)sin()](1210=nnnuunuu)1()(2])1(1[)(21210),(txwtlannexln22221sinnnnuunuu)1()(2])1(1[)(21210)(121uulxuu+tlannexln22221sinnnnuunuu)1()(2])1(1[)(21210