数学思想方法在小学数学解题中的渗透

1数学思想方法在小学数学解题中的渗透数学思想方法是人们对数学知识内容的本质认识和对所使用的方法和规律的理性认识。小学数学解题中会涉及到许多数学思想方法，重视对这些数学思想方法的渗透和运用，能增加学生的学习兴趣，启迪学生的思维，发展学生的数学智能，培养学生的创新意识和实践能力；有利于学生领悟数学的真谛，学会数学地思考问题，掌握解决数学问题的途径、手段和策略，提高学生的数学素养及分析问题和解决问题的能力。一、转化的思想方法转化是解决数学问题常用的思想方法。转化就是将有待解决或未解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对比较容易解决的或者已经有解决程序的问题，以求得问题的解答。小学数学解题中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，可通过转化，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。例1：甲、乙两校共有学生2100人，甲校人数的52等于乙校人数的1710。甲、乙两校各有学生多少人？分析与解：题中甲校学生总数和乙校学生总数的关系比较隐蔽复杂，可以把已知条件“甲校人数的52等于乙校人数的1710”转化为“甲校人数与乙校人数的比是25∶17（甲×52=乙×1710，甲∶乙=1710∶52=25∶17）”，本是复杂的问题就变得十分简单了。由此可求出甲校学生人数=2100×172525=1250（人），乙校学生人数=2100×172517=850（人）。例2：上学期六（1）班的男生是女生的35，这学期六（1）班又转来了2名女同学，现在六（1）班的男生是女生的23。上学期六（1）班有男生和女生共多少人？分析与解：题中先后出现两个分率，都是以女生人数为单位“1”，但恰恰是2女生的人数发生了变化，让人难以下手解答。可以把题中条件“上学期六（1）班的男生是女生的35”转化成“上学期六（1）班的女生是男生的53”，再把“现在六（1）班的男生是女生的23”转化成“现在六（1）班的女生是男生的32”。这样，通过转化就把男生转化成了单位“1”，由于男生人数没有发生变化，很容易找到“转来2名女同学”的对应分率32－53=151。由此可求出上学期六（1）班有男生2÷151=30（人），有女生30×53=18（人），所以，上学期六（1）班有男生和女生共30＋18=48（人）。二、数形结合的思想方法数形结合思想方法，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。小学数学解题中，有些问题数量关系复杂，用一般的思考方法难以发现解题线索，可以把题中的条件和问题用图形直观形象地表示出来，然后“按图索骥”，便能很快发现解题的线索，使问题迅速得到解决。例3：水果店有一批水果，运出总数的85后，又运进700千克，现在水果店里的水果正好是原来的32。原来水果店的水果是多少千克？分析与解：读题后，画出线段图：原来？千克运出总数的85运进700千克现在正好是原来的32借助线段图，很清楚地看出700千克与85和32的相互重叠处相对应，由此可以得到以下几种解法：3解法1：从左往右看，700千克是32与1-85的差，解法为：700÷[32-(1-85)]。解法2：从右往左看，700千克是85与1-32的差，解法为：700÷[85-(1-32)]。解法3：从两端往中间看，700千克是夹在1-85与1-32中间的一段，解法为：700÷[1-（1-85）-(1-32)]。解法4：从整体上看，700千克是32与85的重叠部分，解法为：700÷（32+85-1）例4：全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？HFDS2CGKJS1AEBL分析与解：如图，用长方形的长表示船的条数，宽表示每条船坐的学生数，用长方形的面积表示这个班的学生数。“如果减少一条船，每条船正好坐9个同学。”即长方形的长减少1，宽增加到9；“如果增加一条船，每条船正好坐6个同学”即长方形的长增加1，宽减少到到6。由于这个班的学生数不变，也就是长方形的面积不变，所以图中S1（长方形ELJK）=S2（长方形GKFH），从而长方形AEFH=6×2÷（9－6）×9=36，即这个班有36个同学。三、假设的思想方法假设是一种常用的推测性的数学思想方法。小学数学解题中，有些问题数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手。可以根据问题的具体情况合理假设，由此得出一些关系和结论，产生差异与矛盾，通过分析与思考，找出差异的原因，使复杂问题简单化，数量关系明朗化，从而达到4解决问题的目的。例5：甲乙两人同时从相距36千米的A地向B地行驶，甲骑自行车每小时行12千米，乙步行每小时行4千米。甲到B地后休息2小时返回A地，中途与乙相遇，相遇时乙行了多少千米？分析与解：假设甲到B地后没有休息，继续行驶，那么相遇时甲乙两人共行的路程是：36×2＋12×2=96（千米）。由此可求出两人经过多长时间相遇，也就是乙行驶的时间是96÷（12＋4）＝6（小时），所以相遇时乙行了4×6=24（千米）。例6：养鸡场分三次把一批肉鸡投放市场，第一次买出的比总数的31多100只，第二次买出的比总数的21少120只，第三次买出320只。这批鸡共有多少只？分析与解：本题的特点是分率后面还有个具体数量，给思考带来麻烦。可以假设没有后面的具体数量，去零为整，这样便于思考。假设第一次正好买出总数的31，把多的100只放在第三次买出，即第三次要多买出100只；假设第二次正好买出总数的21，那么少的120只需要从第三次取来，即第三次要少买出120只。这样，第三次多买出的只数是320＋100－120=300（只）。由此可求出这批鸡共有300÷（1－31－21）=1800（只）。四、整体的思想方法整体的思想方法就是从整体观点出发，有意识地放大思考问题的“视角”，纵观全局，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，并对其进行调节和转化，从而使问题得到解决。小学数学解题中，有些问题从每个部分或条件去思考不易解决时，可以把问题的各个部分或条件作为一个整体，全面考虑，往往能收到意想不到的效果，使繁难的问题得到迅速巧妙的解决。例7：如下图，在三角形内分别以三个顶点为圆心，画三个半径3厘米的扇形，这三个扇形面积的和是多少平方厘米？5分析与解：按常规解法，求三个扇形面积的和是多少平方厘米，只要分别找到三个扇形的半径和圆心角的度数，求出每个扇形的面积，再把结果相加就很容易求出答案，但题中无法找到这三个扇形的圆心角的度数。由题中条件可知这三个扇形的圆心角刚好是三角形的三个内角，从整体考虑，这三个扇形圆心角的度数和刚好是三角形的内角和1800。如果把这三个扇形合并起来正好是一个半径为3厘米的半圆，所以这三个扇形面积的和是3.14×32÷2=14.13（平方厘米）。例8：甲、乙、丙三人合修一段公路，甲修的路是乙丙所修路的21，乙修的路是甲丙所修路的177，丙修了1350米。这段公路长多少米？分析与解：从“甲修的路是乙丙所修路的21”和“乙修的路是甲丙所修路的177”去思考，问题难于解答，主要原因是单位“1”在不断变化。不妨从整体上分析：以这段公路的全长为单位“1”，那么甲修的路是这段公路的211，乙修的路是这段公路的1777。这样，丙就修了这条路的1－211－1777=83。所以这段公路长1350÷83=3600（米）五、比较的思想方法教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切。”显然乌申斯基所强调的是一种思想方法，即比较的思想方法。比较的思想方法就是通过对问题的相同点、不同点的对比，全面而深刻地认识问题的本质。小学数学解题中，可以对题中的条件或问题进行比较，找出它们之间存在的差异，分析存在差异的原因，从而找到解决问题的方法。例9：小强买2枝真彩水笔和3块橡皮，用去2.2元，小华买同样的真彩水笔4枝和3块橡皮，用去3.8元。求每枝真彩水笔和每块橡皮售价各多少元？分析与解：摘录题中条件，列表如下：6真彩水笔（枝）橡皮（块）用钱（元）小强232.2小华433.8比较“小强”、“小华”两组数量会发现，两人所买橡皮的块数相同，小华比小强多买了（4－2）枝真彩水笔，多用了（3.8－2.2）元。所以每枝真彩水笔售价是（3.8－2.2）÷（4－2）=0.8（元），而每块橡皮售价是（2.2－0.8×2）÷3=0.2（元）。例10：某班男生人数的41与女生人数的85共有20人，而男生人数的21与女生人数的32共有26人。这个班有男生和女生各多少人？分析与解：将题中条件列表如下：条件人数第一种情况男生的41＋女生的8520人第二种情况男生的21与女生的3226人直接比较有困难，可以将第一种情况的条件扩大2倍，人数也相应扩大2倍，则第一种情况变为：男生人数的21与女生人数的85×2（45）共有40人。这时比较第一、第二两种情况可以发现女生的45比32多（40－26）人。从而可求出：女生人数是（40－26）÷（45－32）=24（人），男生人数是（26－24×32）÷21=20（人），或（20－24×85）÷41=20（人）。六、分类的思想方法有些数学问题，由于条件与问题之间的联系不是单一的，情况比较复杂，为了解决问题的方便，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类的思想方法。它是一种重要的数学思想方法，应用分类的思想方法要做到分类恰当，不重复不遗漏。例11：给一本书编页码，一共用去732个数字，这本书一共有多少页？分析与解：按照每个页码所用数字的个数分类：①只用一个数字的有1～9页，共用了9个数字；②用二个数字的有10～99页，共用了2×（99－9）=1807（个）数字；③余下的（732－180－9）个数字用来编三位数的页码，可以编（732－180－9）÷3=181（个）页码。于是可以求出这本书一共有9＋90＋181=280（页）。例12：一段长方体木料，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。现在把它加工成一个最大的圆柱体模型，加工成的最大圆柱体模型的体积是多少？分析与解：用这段长方体木料加工一个最大的圆柱体模型，可以有三种不同的加工方法，加工的圆柱体模型体积也不同，因此不能直接求解，可运用分类的思想方法求解。①以长方体木料上下面为底，以长方体木料高为圆柱体高，由此圆柱体底面直径为8厘米。这样加工成的圆柱体模型体积是3.14×（8÷2）2×6=301.44（立方厘米）；②以长方体木料左右侧面为底，以长方体木料长为圆柱体高，由此圆柱体底面直径为6厘米。这样加工成的圆柱体模型体积是3.14×（6÷2）2×10=282.6（立方厘米）；③以长方体木料前后面为底，以长方体木料宽为圆柱体高，由此圆柱体底面直径为8厘米。这样加工成的圆柱体模型体积是3.14×（8÷2）2×6=226.08（立方厘米）。由此求得加工成的最大圆柱体模型的体积是301.44立方厘米。