数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1)

《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（）.3.在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（）.4.边界条件funuS)(是第（）类边界条件，其中S为边界.5.设函数),(txu的傅立叶变换式为),(tU，则方程22222xuatu的傅立叶变换为（）.6.由贝塞尔函数的递推公式有)(0xJdxd（）.7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202xPxP=（）.8.计算积分dxxP2112)]([（）.9.勒让德多项式)(1xP的微分表达式为（）.10.二维拉普拉斯方程的基本解是（）.二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.30,0,3,000,30,200322222,0xtuxxtxxututtxuuu2.xtxxutuuuutxx2,0,00,40,040223.20,0,8,00,20,162002022222xtutxxututtxxuuu三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）0,2sin0,,cos0022222tttuxutxxxuatu四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：,1,10,0,1002yxuyuyxyxu五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02xJxxJxJ六、在半径为1的球内求调和函数u，使它在球面上满足21cosru，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos3,0,10,0)(sinsin1)(11222rururrurrr(本题的u只与,r有关，与无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2.)(2222222zuyuxuatu3.01)(1222uu.4.三.5.UadtUd2222.6.)(1xJ.7.2x.8.52.9.)1(212xdxd.10.2020)()(1lnyyxxu.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''tTatT，0)()(''xXxX，由边界条件得到0)3()0(XX，对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2，得到22223n为特征值，特征函数3sin)(nBxXnn，再解)(tT，得到32sin32cos)(;;tnDtnCtTnnn，于是,3sin)32sin32cos(),(1xntnDtnCtxunnn再由初始条件得到0,)1(183sin332130nnnDnxdxnxC，所以原定解问题的解为,3sin)32cos)1(18(),(11xntnntxunn2.解令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('tTtT，0)()(''xXxX，由边界条件得到0)4()0(XX，对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2，得到22224n为特征值，特征函数4sin)(nBxXnn，再解)(tT，得到16;22)(tnnneCtT，于是,4sin(),(16122xneCtxutnnn再由初始条件得到140)1(164sin242nnnxdxnxC，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xnentxutnnn3.解由于边界条件和自由项均与t无关，令)(),(),(xwtxvtxu，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此212''''22222)(16)(416)]([4cxcxxwxwxwxvtv，再由边界条件有8)2(,0)0(ww，于是0,821cc，xxxw82)(2.再求定解问题20,0),(,000,20,200322222,0xtvxwxtxxvtvttxvvv用分离变量法求以上定解问题的解为,2sincos])1)1[(32)1(16(),(331xntnnntxvnnn故,2sincos])1)1[(32)1(16(28),(3312xntnnnxxtxunnn三.解：令)(),(),(xwtxvtxu，代入原方程中，将方程齐次化，因此xaxwxxwaxxwxvatvcos1)(0cos)(cos)]([2''2''22222，再求定解问题,0),(cos12sin0,02022222tttvxxwaxtxvatvv由达朗贝尔公式得到以上问题的解为atxaatxatxaatxataaatxtxvcoscos1cossin0)]cos(1)(2sin)cos(1)(2[sin21),(222故.cos1coscos1cossin),(22xaatxaatxtxu四.解：对y取拉普拉斯变换),()],([pxUyxuL，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到ppUpdxdUpx11,120，解这个微分方程得到ppxppxU111),(22，再取拉普拉斯逆变换有1),(yyxyxu所以原问题的解为1),(yyxyxu.五.证明：由公式)())((1xJxxJxdxdnnnn有)()()(1'xJxxnJxxJnnn，令1n有)()()(211'xxJxJxxJ，所以)(1)()(11'2xJxxJxJ，又)()(),()(1'0''10'xJxJxJxJ，所以)(1)()(0'0''2xJxxJxJ.六．解：由分离变量法，令)()(),(rRru，得到0)(cos),(nnnnPrCru，由边界条件有01)(cos12cos3nnnrPCu，令xcos，)()()(261)12(322110022xPcxPcxPcxx，)13(212622102xcxccx，4,0,0210ccc，故222222cos6)1cos3(214),(rrrru