数学竞赛教案讲义(11)圆锥曲线

第十一章圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即edPF||(0e1).第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。2椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为12222byax(ab0)，参数方程为sincosbyax（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为12222byay(ab0)。3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆12222byax，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为cax2，与右焦点对应的准线为cax2；定义中的比e称为离心率，且ace，由c2+b2=a2知0e1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2222byax1(ab0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为12020byyaxx；2）斜率为k的切线方程为222bkakxy；3）过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为2222cos2caabl。6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|,a0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为12222byax，参数方程为tansecbyax（为参数）。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为12222bxay。8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线12222byax(a,b0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为.,22caxcax离心率ace，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为xaky，双曲线12222byax与12222byax有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222byax，F1（-c,0）,F2(c,0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是2222cos2caab。10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为)0,2(p，准线方程为2px，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1.11．抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=2px；2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为2cos12p。12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0e1，则点P的轨迹为椭圆；若e1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为cos1eep。二、方法与例题1．与定义有关的问题。例1已知定点A（2，1），F是椭圆1162522yx的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。例2已知P，'P为双曲线C：12222byax右支上两点，'PP延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠'PF1K=∠KF1Q.2．求轨迹问题。例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。例5在坐标平面内，∠AOB=3，AB边在直线l:x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。3．定值问题。例6过双曲线12222byax(a0,b0)的右焦点F作B1B2x轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例7设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。例8椭圆12222byax上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：22||1||1OBOA为定值。4．最值问题。例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为23，若圆C：22)23(yx1上点与这椭圆上点的最大距离为71，试求这个椭圆的方程。5．直线与二次曲线。例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。例12若直线y=2x+b与椭圆1422yx相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。三、基础训练题1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(0)，则动点的轨迹是________.3．椭圆13610022yx上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.4．双曲线方程152||22kykx，则k的取值范围是________.5．椭圆16410022yx，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.6．直线l被双曲线1422yx所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，||||||21POPFPF的取值范围是________.11．已知椭圆1212212byax与双曲线1222222byax有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a(2a2r)；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离|MP|，|NQ|满足.1||||ANNQAMMP求证：|AM|+|AN|=|AB|。13．给定双曲线.1222yx过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。四、高考水平测试题1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是yx3=0，则此双曲线的标准方程是_________.2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________.3．双曲线12222byax的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.4．椭圆的中心在原点，离心率31e，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.5．4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆12222byax恰有一个公共点的_________条件.6．若参数方程tmytmx22222（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆1522myx总有公共点，则m的范围是_________.8．过双曲线16922yx的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.9．过坐标原点的直线l与椭圆126)3(22yx相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.10．以椭圆x2+a2y2=a2(a1)的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.11．求椭圆12222byax上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。12．设F，O分别为椭圆12222byax的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。13．已知双曲线C1：122222ayax(a0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。五、联赛一试水平训练题1．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________.2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积为_________.3．给定椭圆12222byax，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_________.4．设F1，F2分别是双曲线12222byax(ab0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0，2）和C（0，2），另两边斜率的乘积为21，若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________.6．长为l(l1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.7．已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐