数学第三章《数系的扩充与复数的引入》素材(新人教A版选修2-2)

-1-数系的扩充与复数的引入复习指导『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．『复习过程指导』在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：多项式运算类比复数运算类比向量运算一．数学思想方法总结1数学思想方法之一：类比法（1）复数的运算复数代数形式的加法、减法运算法则()()()()abicdiacbdi复数代数形式的乘法运算运算法则：()()()()abicdiacbdadbci显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．（2）复数的几何意义我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：复数集C＝|,abiabR与坐标系中的点集(,)|,abaRbR一一对应．于是：复数集z＝abi复平面内的点(,)Zab复数集z＝abi平面向量OZ（2005高考浙江4）．在复平面内，复数1ii＋(1＋3i)2对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解答：复数1ii＋(1＋3i)2＝112332ii＝31(23)22i因为复数31(23)22i对应着直角坐标平面内的点31(,23)22，故在第二象限，答案为B．此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．例2．非零复数12,zz分别对应复平面内向量,OAOB，若12||zz=12||zz则向量OA与OB的关系必有（）A．OA=OBB．OAOBC．OAOBD．OAOB，共线解答：由向量的加法及减法可知：OC＝OAOBAB＝OBOA由复数加法以及减法的几何意义可知：12||zz对应OC的模12||zz对应AB的模又因为12||zz=12||zz，且非零复数12,zz分别对应复平面内向量,OAOB所以四边形OACB是正方形因此OAOB，故答案选B．注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义（3）复数的化简虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．例３（2005高考天津卷理(2)）若复数iia213（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为oxy图１ABC-3-（A）-2(B)4(C)-6(D)6解答：由iia213＝(3)(12)(12)(12)aiiii＝226(32)12aai＝63255aai因为复数iia213是纯虚数所以605a且3205a解得6a故答案选C．注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数(12)(12)ii＝５，一般地（abi）（abi）＝22ab这也是一个复数与实数转化的过程，即63255aai是纯虚数可得：605a且3205a，2．数学思想方法之二转化法我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．基础知识：复数abi(0)(0)(0)0)abbiaabibabia实数纯虚数虚数非纯虚数（例４（2005高考北京卷（9））若12zai,234zi，且12zz为纯虚数，则实数a的值为．解答：12zz＝222(2)(34)3434aiaiii＝38642525aai因为12zz为纯虚数所以38025a且64025a．解得83a例５．（2005高考，吉林、黑龙江、广西（５））设a、b、c、dR，若abicdi为实数，则，（A）0bcad（B）0bcad-4-（C）0bcad（D）0bcad解答：由2222abiacbdbcadicdicdcd因为abicdi为实数，所以其虚部220bcadcd，即0bcad故答案选C．这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．二．解题规律总结１有关虚数单位i的运算及拓展虚数i的乘方及其规律：1ii，2i＝－１，3ii，41i，5678,1,,1iiiiii…4142434,1,,1nnnniiiiii…（nN）拓展（1）任何相邻四个数的和为０；（2）指数成等差的四个数的和为０；例如：23212123nnnniiii＝０（3）连续多个数相加的规律．例6．求101112iii…2006i的值解答：共有2006－10＋１＝１997项由于1997＝4499＋1由于连续4个的和等于0因此原式＝10i＝－12．有关复数的几个常用化简式22(1)2,(1)2iiii，1ii，11,11iiiiii例7（2005高考重庆2）．20051()1ii（）A．iB．－iC．20052D．－20052解答：2005200545011()()1iiiiii故答案选A3．有关复数的综合运算例７（2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程iiizzz23)(||2（i为虚数单位）解法一．设(,)zabiabR，则zabi-5-由于222||()2zzziabai32ii＝22(3)(2)21ii＝1i所以222abai＝1i根据复数的相等得22121aba解得13,22ab因此，1322z即为所求．解题评注：（1）设复数的代数形式（z(,)abiabR）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（abi＝cdi,acbd(,,,)abcdR）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；三．高考命题趋势从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．