数学练习题考试题高考题教案讲座4指数与对数的性质和运算及答案详解

指数与对数的运算1、整数指数幂的概念。（1）概念：*)(Nnaaaaan)0(10aa*),0(1Nnaaannn个a(2)运算性质：)()(),()(),(ZnbaabZnmaaZnmaaannnmnnmnmnm两点解释：①nmaa可看作nmaa∴nmaa=nmaa=nma②nba)(可看作nnba∴nba)(=nnba=nnba2、根式：（1）定义：若),1(Nnnaxn则x叫做a的n次方根。（2）求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：nax当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：nax负数没有偶次方根0的任何次方根为0名称：na叫做根式n叫做根指数a叫做被开方数（3）公式：aann)(；当n为奇数时aann；当n为偶数时)0()0(aaaaaann3、分数指数幂（1）有关规定：事实上，knnkaa)(若设a0,*),1(Nnnnmk，mnnmnkaaa)()(由n次根式定义,naamnm的是次方根，即：nmnmaa（2）同样规定：)1*,,0(1nNnmaaanmnm且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。),0,0()(),,0()(),,0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr（注）上述性质对r、sR均适用。4、对数的概念（1）定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数。①以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；②以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；（2）基本性质：①真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga；③1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。（3）运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则①NMMNaaaloglog)(log；②NMNMaaalogloglog；③nMnMana(loglogR）。（4）换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma两个非常有用的结论①1loglogabba；②bmnbanamloglog。【注】新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1)af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;（定义法）(2)af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（转化法）(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(取对数法)(4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)【课前预习】1、已知3234xxy的值域为[1，7]，则x的取值范围是（）A.［２，４］B.)0,(C.]4,2[)1,0(D.]2,1[)0,(2、若,310,210yx则2310yx3、【08重庆卷13】已知1249a(a0)，则23loga.四．典例解析题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；（2）化简32233（3）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。（4）化简：33323323134)21(428aabbababaa例2．已知11223xx，求22332223xxxx的值。题型2：对数运算例3．计算（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23。例4．设a、b、c为正数，且满足222abc新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。例5（1）已知log189=a,18b=5,求log3645（用a,b表示）（2）设1643tzyx求证：yxz2111题型4：指数、对数方程例6：解方程（1）1123log2122xxx（2）0logloglog432x例7．设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。.【课外作业】1.若0logloglogloglogloglogloglog324243432zyx，则zyx的值为A．50B．58C．89D．111（）2、若273291xx，则x=；3、．如果函数)1,0(122aaaayxx在区间[-1，1]上的最大值是14，求a的值。4、设3421lg)(axfxx若]1,(x时)(xf有意义，求实数a的范围。思维总结1．bNNaaNabnlog,,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；【课前预习】1、答案:D先求出x2范围再求x的范围；2、3623、3题型1：指数运算例1．解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(922)2917(21]1024251253794[；（2）原式=33)33(2)13(2)33(23242)33(22=6226)3612(2)33)(33()33(22（注意复习，根式开平方）（3）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。（4）原式＝ababaaabaabbaabaa8)8(242)8(313131313231313231点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．解：∵11223xx，∴11222()9xx，∴129xx，∴17xx，∴12()49xx，∴2247xx，又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，∴223322247231833xxxx。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例3解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2；（2）原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3()()()()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg352lg36lg24；（3）分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg；原式=43。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4．证明：（1）左边222logloglog()abcabcabcabcabab22222222222()22loglogloglog21abcaabbcabccababab；解：（2）由4log(1)1bca得14bca，∴30abc……………①由82log()3abc得2384abc………………………②由①②得2ba……………………………………③由①得3cab，代入222abc得2(43)0aab，∵0a，∴430ab………………………………④由③、④解得6a，8b，从而10c。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指对数式的简单应用例5（1）解：∵log189=a∴a2log1218log1818∴log182=1a∵18b=5∴log185=b∴aba22log15log9log36log45log45log181818181836（2）证：∵1643tzyx∴6lglg4lglg3lglgtztytx，，∴yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11题型4：指数、对数方程例6：解（1）2,00212123222xxxxxxx但必须：0123112012222xxxx∴0x舍去2x（2）1loglog43x,∴3log4x,6443x例7．解：（1）原方程为124xxb，11)12(22)2(24221xxxxx，),1[b当时方程有实数解；（2）①当1b时，12x，∴方程有唯一解0x；②当1b时，bbxx1121)12(2.bbxx112,011,02的解为)11(log2bx；令,0111011bbbbbx112,01时当的解为)11(log2bx；综合①、②，得1）当01b时原方程有两