数学练习题解析

1.在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x中，x等于（）A.11B.12C.13D.142.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中nnaaaaaaaa项的和9S等于（）A.66B.99C.144D.2973.等比数列na中,,243,952aa则na的前4项和为（）A.81B.120C.168D.1924.12与12，两数的等比中项是（）A.1B.1C.1D.215.已知一等比数列的前三项依次为33,22,xxx，那么2113是此数列的第（）项A.2B.4C.6D.86.在公比为整数的等比数列na中，如果,12,183241aaaa那么该数列的前8项之和为（）A.513B.512C.510D.82251.C12nnnaaa2.B147369464639,27,339,327,13,9aaaaaaaaaa91946999()()(139)99222Saaaa3.B43521423(13)27,3,3,12013aaqqaSaq4.C2(21)(21)1,1xx5.B2(33)(22),14,14xxxxxxx或而133313,134(),422222nxqnx6.C332112131(1)18,()12,,2,22qaqaqqqqqq或而89182(12),2,2,2251012qZqaS7.等差数列na中,,33,952aa则na的公差为______________.8.数列{na}是等差数列，47a，则7s_________9.两个等差数列,,nnba,327......2121nnbbbaaann则55ba=___________.10.在等比数列na中,若,75,393aa则10a=___________.11.在等比数列na中,若101,aa是方程06232xx的两根，则47aa=___________.12.计算3log33...3n___________.7.85233985252aad8.4971747()7492Saaa9.1265195519955199199()2792652929312()2aaaaaaSbbbbSbb10.337563310925,5,755qqaaq11.2471102aaaa12.112n111111...242422333log33...3log(333)log(3)nnn211[1()]111122...11222212nnn13．设等差数列｛an｝的前n项和是Sn，若a5=20－a16，则S20=___________．14．若｛an｝是等比数列，a4·a7=－512，a3+a8=124，且公比q为整数，则a10等于___________．15．在数列｛an｝中，a1=1，当n≥2时，a1a2…an=n2恒成立，则a3+a5=___________．16．设｛an｝是首项为1的正项数列，且（n＋1）21na－na2n＋an+1an=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an=___________．13．200．a1＋a20=a5＋a16=20，∴S20=220201aa=10×20=200．14．512．∵a3＋a8=124，又a3·a8=a4·a7=－512，故a3，a8是方程x2－124x－512=0的两个根．于是，a3=－4，a8=128，或a3=128，a8=－4．由于q为整数，故只有a3=－4，a8=128因此－4·q5=128，q=－2．所以a10=a8··q2=128×4=512．15．1661．a1a2…an=n2，∴a1a2…an－1=（n－1）2．两式相除，得21nnan（n≥2）．所以，a3＋a5=1661452322．16．n1．所给条件式即（an＋1an）[（n＋1）an＋1－nan]=0，由于an＋1an＞0，所以（n＋1）an＋1=nan，又a1=1，故nan=（n－1）an－1=（n－2）an－2=…=2a2=a1=1，∴an=n1．17、各项都是正数的等比数列na，公比1q875,,aaa,成等差数列，则公比q=18、已知等差数列na，公差0d,1751,,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa=19、已知数列na满足nnaS411,则na=20、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为17.25118.292619.n)31(3420.6321.在等差数列｛an｝中，a1=13，前n项和为Sn，且S3=S11，求Sn的最大值．∵S3=S11，∴3a1＋dad21011112231．——3分又a1=13，∴8×13＋52d=0解得d=－2．——5分∴an=a1＋（n－1）d=－2n＋15．——7分由.0,01nnaa即015)1(20152nn，解得213≤n≤215.由于Nn，故n=7．——10分∴当n=7时，Sn最大，最大值是492267137267717daS．——13分22、已知数列{}na的首项为1a，前n项和为nS，且点1(,)1nnSSnn在直线yxp上，p为常数，nN。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）当110a，且10S最大时，试求p的取值范围。解：（Ⅰ）由题意可知11nnSSpnn数列{}nSn是等差数列………（2分）1(1)1nSSnpn，1(1)nSnannp当2n时，11(1)(2)(1)nSnannp两式相减，得122(2)napnapn………………………（4分）1n时也成立∴{}na的通项公式为：122napnap………………………………（6分）（Ⅱ）由前n项和公式得21nSpnnapn当110a时，2(10)nSpnpn∵10S最大，则有101100aa，解得1529p23.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（II）求数列{}na的通项公式。解：（I）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa，．．．①则当2n时，有142nnSa．．．．．②②－①得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbb{}nb是首项13b，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得11232nnnnbaa，113224nnnnaa数列{}2nna是首项为12，公差为34的等比数列．1331(1)22444nnann，2(31)2nnan评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可．第（II）问中由（I）易得11232nnnaa，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,nnnapaqpq为常数)，主要的处理手段是两边除以1nq．24.(2009湖北卷理)（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列na的前n项和11()22nnnSa（n为正整数）。（Ⅰ）令2nnnba，求证数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；解析：（I）在11()22nnnSa中，令n=1，可得1112nSaa，即112a当2n时，21111111()2()22nnnnnnnnnSaaSSaa，，11n1112a(),212nnnnnaaan即2.112,1,n21nnnnnnbabbbn即当时，b.21世纪教育网又1121,ba数列nb是首项和公差均为1的等差数列.于是1(1)12,2nnnnnnbnnaa.25.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知数列}na满足，*11212,,2nnnaaaaanN’＋2＝＝.令1nnnbaa，证明：{}nb是等比数列；(Ⅱ)求}na的通项公式。（1）证1211,baa当2n时，1111,11()222nnnnnnnnnaabaaaaab所以nb是以1为首项，12为公比的等比数列。（2）解由（1）知111(),2nnnnbaa当2n时，121321()()()nnnaaaaaaaa21111()()22n111()2111()2n2211[1()]32n1521(),332n当1n时，111521()1332a。所以1*521()()332nnanN。26.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝)(2...222n33221为正整数nbbbbn，求数列{bn}的前n项和Sn解（1）解：设等差数列na的公差为d，则依题设d0由a2+a7＝16.得12716ad①由3655,aa得11(2)(5)55adad②由①得12167ad将其代入②得(163)(163)220dd。即22569220d24,0,2,11(1)221ndddann1又代入得a①（2）令121121,,2nnnnnnnbcacccaccc则有两式相减得111111111,(1)1,22,2(2),22222,(1)2(2)nnnnnnnnnnnaacaaaccnnbbanbn由得即当时，又当n=1时，于是3411232222nnnSbbbb=234122222n-4=1222(21)426,2621nnnnS即27、设数列}{na的前n项和为nS，且nnaS)1(，其中0,1；（１）证明：数列}{na是等比数列。（２）设数列}{na的公比)(fq，数列}{nb满足211b，)(1nnbfb（)2,*nNn求数列}{nb的通项公式；（３）记1，记)11(nnnbaC，求数列}{nC的前n项和为nT；解：（1）由nnaS)1()2()1(11naSnn，相减得：1nnnaaa，∴11nnaa)2(n，∴数列}{na是等比数列（2）1)(f，∴111111nnnnnbbbbb，∴}1{nb是首项为211b，公差为1的等差数列；∴1)1(21nnbn∴11nbn（3）1时，1)21(nna，∴nbaCnnnn1)21()11(，∴12)21()21(3)21(21nnnT，①nnnT)21()21(3)21(2)21(2132②②-①得：nnnnT)21()21()21()2