数学经典易错题会诊与高考试题预测16

1经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十六）考点16复数►复数的概念►复数的代数形式及运算►复数概念的应用►复数的代数形式及运算经典易错题会诊命题角度1复数的概念1．（典型例题）若z1=a+2i,z2=3-4i,且21zz为纯虚数，则实数a的值为___________.[考场错解]∵z1+a+2i,z2=3-4i,∴.25462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221iaaiaaiiiiaiazz又∵21zz为纯虚数。∴,02583a∴a=38.∴填38。[专家把脉]∵复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.因此上面解答虽然答案是正确的，但解答过程错了，在由02583a解得a=38时还需满足02546a。[对症下药]∵z1=a+2i,z2=3-4i,iaaiaaiiiiaiiazz2546258325)46()83()43)(43()43)(2(43221∵21zz为纯虚数，∴0254602583aa解得a=38。∴填38。2．（典型例题）z=i11的共轭复数是（）A．21+21iB．21-21iC．1-iD．1+i[考场错解]选C∵z=i11=1+i.∴z为纯虚数为1-i2[专家把脉]z=i11=1+i是错误的，因为（1-i）(1+i)=1-(i)2-z≠1[对症下药]选B∵z=i11=.212121)1)(1(1iiiii∴z=i11的共轭复数是21-21i。3．（典型例题）已知复数z1=3+4i，z2=t+i,,且21zz是实数，则实数t=（）A．43B．34C．-34D．-43[考场错解]选C∵z1·2z∈R2121zzzz=0。即（3+4i）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0t=-34.[专家把脉]∵z∈Rz=z.z为纯虚数z+z=0(z≠0)因此上面解答应用的是Z为纯虚数的充根条件，因而求出的t是z12z为纯虚数的结果，显然是错误的。[对诊下药]解法1：z12z=（3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)∵z12z为实数，∴4t-3=0，t=43.解法2：∵z12z∈R，∴z12z=21zz∴（3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)（3t+4）+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i4t-3=3-4tt=43.4．（典型例题）已知z是复数，z+2i,iz2均为实数（i为虚数单位），且复数（2+ai）2在复平面上对应的点在第一象限。求实数a的取值范围。[考场错解]设z=x+yi(x,y∈R),∵z+2i=x+(y+2)i由题意得y=-2.∵51222iixiz(x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2=[4+(a-2)i]2=(12+4a-a2)+8(a-2)i∵(z+ai)2在复平面上的点在第一象限，∴,.0)2(8,04122aaa解得2≤a≤6.∴实数a的取值范围是[2，6]。[专家把脉]复数z=a+bi(a、b∈R)对应点（a、b）在第一象限的充要条件是a0,b0.∵a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a≠2，b≠6。3[对症下药]设z=x+yi(x、y∈R).∵z+2i=x+(y+2)i由题意得，y=-2.又∵51)2)(2()2(2iiiziz(2x+2)+51(x-4)i.由题意得：x=4,z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i根据条件，可知0)2(804122aaa解得2a6.∴实数a的取值范围是（2，6）。专家会诊1．深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示——复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点（a、b）及向量OP是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。2．要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b∈R)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。考场思维训练1若复数iia213(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为（）A．-2B．4C．-6D．6答案：C解析：∵.6052305.52355)23()21)(21()21)(3(213aabaiabaiabaiiiiaiia解得依有题意有2复数z=ii11-1，在复平面内，z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：z=iiiiii12111111.,111)1(2Bzii内选所对应的点在第二象限3设复数z满足izz11，则|1+z|=（）A．0B．1C．2D．2答案：C解析：由.2)1(11,112iiiizizz4∴|1+z|=|1-i|=..21122C选4已知复数z1满足（1+i）z1=-1+5i，a2=a-2-i.其中i为虚数单位，a∈R。若|z1-2z||z1|，求a的取值范围。答案：解：由题意得于是,321511iiiz.13||,4)4(|24|||1221zaiazz由.078,134)4(22aaa得∴1a7.命题角度2复数的代数形式及运算1．（典型例题Ⅰ）复数ii2123=（）A．iB．-iC．-22-iD．-22+i[考场错解]选C∵.2212221)21)(2(2122123iiiiiiii[专家把脉]上面解答错误认为i2=1.导致结果错误。[对症下药]A解法1：.3222)21)(21()21)(2(2122123iiiiiiiiiii故选A。解法2：.1)2)((22221223iiiiiiiiii2．（典型例题）复数ii31)31(5的值是（）A．-16B．16C．-41D．8-8i3[考场错解]选D。∵iiiiiii3884)31(2311231])2321[(231)31(535535355选D。[专家把脉]上面解答似乎很有“道理”，但（-21+i23）5=[（-21+i23）3]35是错误的∵zmn=(zm)n在数范围内，必须是m、n均正整数时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法则，所以对于数学中的有关定理、定义、法则、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否则会产生错误。5[对症下药]选A。原式=).2321(16222)2()2321(2)2321(255555i令3满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆[考场错解]选A。由|z-i|=|3+4i|知z在复平面上对应的图形是点（0，1）和（3，4）的垂直平分线。[专家把脉]上面解答把条件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.这类型题应用复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R)代入计算才能确定答案。[对症下药]选C。设z=x+yi(x,y∈R)代入|z-i|=|3+4i|中计算得,5)1(22yx即x2+(y-1)2=25.∴z的轨迹是表示以（0，1）为圆心，以5为半径的圆，选C。4．（05，上海卷）证明：在复数范围内，方程|z|2+（1-i）z-(1+i)z=ii255(i为虚数单位)无解。[考场错解]∵|z|=|z|，∴原方程化简为：两边取模的：|z|2+（1-i-1-i）|z|=|1-3i|=10.∴|z|2-2i|z|=10|z|2-10=2i|z|。①∵|z|∈R。|z|2-10∈R而2i|z|为纯虚数或0。当|z|=0。①显然不成立；当2i|z|为纯虚数，①也不成立。综合得：原方程无解。[专家把脉]以上解答错在两边取模的计算，因为|z1+z2|=|z1|+|z2|，只有当z1=λz2（λ∈R+）时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。[对症下药]原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=1-3i∴)2(322)1(122yxyx将（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0(*)∵△=-160,∴方程（*）无实数解。∴原方程在复数范围内无解。专家会诊1．复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行2．求解计算时，要充分利用i、w的性质，可适当变形，创造条件，从而转化i、w转化6的计算问题。3．在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和运用。考场思维训练1iii1)21)(1(（）A．-2-iB．-2+iC．2-iD．2+i答案：C解析：.22)21(2)1)(1()21()1(1)21)(1(2iiiiiiiiii2z=i+i2+i3+i4的值是（）A．-1B．0C．1D．i答案：B解析：z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.3_________)131(2ii答案：.32)3(321)131(:322iiiiii解析4已知复数z=1+i，求实数a、b,使az+2bZ=(a+2z)2.答案：解：∵z=1+i,代入az+2b中2)2(zaz得a(1+i)+2b(1-i)=(a+2+2i)2即a+2b-(a+2)2+4+(-3a-2b-8)i=0.24.12823,04)2(22bababaaba或解得5设i是虚数单位，复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0(1)若z和w又满足w-z=2i，求z和w值。答案：012)2)(2(01222,2iwiwiwiwizzwiwzizw中得代入025605)(2)(4))((),,(.052422xiyyxyixiyixiyixyixRyxyixwwii或或（2）求证：如果|z|=3，那么|w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。答案：由wz+2iz-2iw+1=0有z(w+2i)=2iw-1∴|z||w+2i|=|2iw-1|7设w=x+yi,则有44)2(|)2(||2|2222yyxyxiyxiw14444)12(|212||12|2222yyxxyxiyiw又|z|=3,故①式可变为3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1,∴x2+y2-8y=11..33,|4|331116168)4(|)4(||4|2242且等于的值是常数iwyyxyxiyxiw探究开放题预测预测角度1复数概念的应用下列命题中：（1）两个复数不能比较大小；（2）若z=a+bi，则当且仅当a=0,b≠0时，z为纯虚数；（3）（z1-z2）2+（z2-z3）2=0，则z1=z2=z3；（4）x+yi=1+ix=y=1;（5）若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集一一对应。其中正确的命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3[解题思路]关键是理解复数及其有关的概念，证明它们之间的关系，若对复数概念理解不透彻，导致判断失误。[解