数学解题的基本方法之一配方法

数学解题的基本方法之一配方法陕西洋县中学（723300）刘大鸣数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法.高考经典问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等.高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等.本系列专题通过概念与规律、基础题型再现、思维启迪、经典问题回放、实战演练等环节对数学基本方法的应用进一步的夯实.【概念与规律】配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者在三角变换和圆锥问题的简化运算等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2；解析几何中的韦达定理和弦长公式；……等等.【基础题型再现】1若实数a,b,c满足,9222cba则222accbba的最大值为2方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____A.14k1B.k14或k1C.k∈RD.k＝14或k＝13已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______A.1B.－1C.1或－1D.04函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____A.（－∞,54）B.[54,+∞]C.(－12,54)D.[54,3]5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____6双曲线12222byax的两个焦点F1，F2，点P在双曲线上，若21PFPF，求P到x轴的距离.【思维启迪】1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入，.27,2793222322222222222222所求最大值为cbacabcabcbacbacabcabcbaaccbba2：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r20即可，选B。3：已知等式配方凑成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解,选C。4：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解，选D。5根与系数的关系中配凑整体思维,142)(,0)1(4222212aaxxaa，解得3－11.6构建方程组，用圆锥曲线的定义需配方，为简化运算需整体代入.设点P到x轴的距离为L，2211rPF,rPF，则有，LcLrr,crr,arr10210262212222121，配方用双曲线定义，整体代入解得L516.【经典问题回放】例1Rt△ABC中，C=900，AC=8，BC=6，P是△ABC内切圆上的动点，试求点Ｐ到△ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值和最小值【思维展示】如何解决最值？利用坐标法，建立函数关系，只有用配方法才能化归一次函数区间上的最值解决。如图建系，则Ａ（８,0），Ｂ（0，６），Ｃ（0，0）内切圆半径r=cbaSC2=cbaab=2,内切圆圆心（２，２）其内切圆方程（x-22+(y-2)2=4,设P(x,y)是圆上动点,对目标函数配方化简，则S=222PCPBPA=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x-76=3×4-4x+76=88-4x在[0,4]上的最值，由单调性得Smax=88,Smin=72例2求函数xcosxsinxcosxsiny的最大值.【思维展示】如何沟通变量之间的关系选主元？只有配方才有212xcosxsinxcosxsin，沟通变量的关系，换元将问题化归为二次函数在区间上的问题求解..221222112121,2,24sin2cossin22的最大值为时，上的最大值，当，在设yuuuuyxxxu例3解方程84822xxxxx【思维展示】BACO1p原方程化为882)42(xxxxx，两边平方得882848424)42(2xxxxxxxxxx至此，面对复杂的方程形式，思路困惑，难以继续.事实上，只要注意方程的特征和配方法的应用，配凑出个整体的平方形式，可化归为二次方程求解，原方程关于8xx配方整理有1,48,012)8(82xxxxxxx为所求根.例4设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)2≤7成立，求实数k的取值范围。【思维展示】方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,如何构建不等式？只有配方，(pq)2+(qp)2＝pqpq442()＝()()pqpqpq2222222＝[()]()pqpqpqpq2222222＝()k22484≤7，解得k≤－10或k≥10，又∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22，综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10【学习体验】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视.例5已知23coscoscos,20yxyxxy时，求x,y.（参考公式2cos2cos2coscosyxyxyx）【思维展示】二元满足的关系式，如何确定二变量的值？只有配方利用非负数之和确定.注意公式2cos2cos2coscosyxyxyx的信息迁移，用二倍角公式再配方切入，由,23coscoscosyxyx2cos2cos2coscosyxyxyx，02sin412cos212cos,2312cos22cos2cos2222yxyxyxyxyxyx，而两个非负数之和为零，353,20,02sin,02cos212cosyxyxxyyxyxyx或.【学习体验】二元变量满足的关系式，只有用配方法化归为非负数之和才能确定其大小。例6已知抛物线022ppxy，过动点0,aM且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，pAB2.⑴求a的取值范围；⑵若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求三角形NAB面积的最大值.【思维展示】直线和圆锥曲线位置的研究方法“设而不解，整体思维”，弦长公式只有用配方法，才能用韦达定理整体处理.依题意巧设直线AB所在方程为axy与022ppxy联立化简有，0222axpax.由直线与该抛物线交于不同的两点A、B，则04422apa，解得，⑴.pa2设2211y,xB,y,xA，用配方法和点在直线上表示弦长4,0,4,24,2288222422222221221pappapppapppapapaxxxxAB则AB的垂直平分线为paxyyy221，即paxpy，令pax,y20，则N02,pa，三角形NAB的高pppapah222222，则2222222821papppappppapSNAB，而2pa，由一次函数的单调性知，2pa时，三角形NAB有最大值为222222pppp【实战演练】1函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____A.8B.()ab22C.ab222D.最小值不存在2α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是_____A.449B.8C.18D.不存在3化简：218sin＋228cos的结果是_____A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin44已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为A.23B.14C.5D.5设F1和F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是_________。6若x－1，则f(x)＝x2＋2x＋11x的最小值为___________。7已知2〈βα〈34π，cos(α-β)＝1213，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值8设二次函数f(x)＝Ax2＋Bx＋C，给定m、n（mn）,且满足A2[(m+n)2+m2n2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B2＋C2＝0（1）解不等式f(x)0；②是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)0？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。9设s1，t1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logs4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s),(1)将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围.10设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(aab)1998＋(bab)1998.速解“一点通”1重新整理关于变量x再配方，顶点处取得最小值，选C；2注意实根条件由判别式解出范围，凑用韦达定理和求最值都用配方法易有8,3,44943422211,232222最小值为或aaaa3注意平方和的特点，升次配方有218s