数学课堂教学中创造能力的培养

谈如何在数学教学中培养学生的创新能力龙泉二中吴高水[摘要]目前，新课标正在各地如火如荼地进行，目的就是要培养学生的自主创新和探索能力。但各地（特别是山区中学）仍延用“满堂灌”式的教学过程，机械模仿式的练习题，使学生逐渐失去了创新精神和创造能力。要解决问题，关键在于教育观念的更新和教学方法的彻底改革，在大环境（特别是数学教师）还没有根本性改观的情况下，我们应从课堂教学改革入手，探索培养具有创造能力的学生的有效途径。[关键词]创造能力创新意识培养思维直觉创新教育是以创新人格的培养为核心，以创新思维的激发为实施手段，以培养学生的创新意识，创新精神和基本创新能力，促进学生和谐发展为主要特征的素质教育。现代数学教学的主要目的和任务早已不再是简单的知识传授及方法传导，而是通过数学教学在掌握知识和方法的同时培养学生的各种思维能力，尤其是创新思维能力。所谓创新思维就是创造者在强烈的创新意识下，借助于想象与联想，直觉与灵感，以渐进的或突发性的飞跃形式对头脑中已有信息的重新组织。培养学生的创造性或开拓精神，是数学教学的奋斗目标。在中学教学中，培养具有创造性思维能力的学生，除了要给学生创造更多的时间外，还有一个值得重视的重要环节——课堂教学。在课堂教学中，单纯进行知识传授而忽视方法及方法运用等深层次意义的教学，是不能适应时代要求的。创新能力的培养是素质教育的灵魂，这就更加迫切地要求我们在中学数学课堂教学中加强对学生创新能力的培养。那么教师如何通过课堂教学来更好地培养学生的创造能力呢？一、重视数学史的介绍，展示知识产生的过程中学生对世界万物充满了好奇心和求知欲，他们最敬仰为人类作出贡献的伟大科学先驱，常被这些科学家的精神所感动。因此，在教学活动中要不失时机地利用多种形式介绍数学家为数学的发展、创建知识体系、发现定理公式的故事。向学生进行数学史的介绍，不仅可以让学生理解知识产生的过程，再现数学家们当初发现数学的经过，理解数学的思想与方法，而且还可以提示科学发现的一般规律。在教学过程中教师可根据教材内容，有目的有意识地进行，从而拓展学生的思维，培养学生的创新能力。如在学到“实数”这节内容时，可对前面学过的数的发展作一次介绍，自然数——整数——有理数——无理数——实数。原始人在分配猎取食物和制造打猎武器时总要先“数一数”和“量一量”，然后进行分配，在“数一数”和“量一量”的亿万次实践中，便逐步形成数的概念，同时慢慢的产生了自然数。在分配食物和度量过程中，常有分不完和量不尽的情况，但仍然需要继续分和更精确的量下去。为了解决这些矛盾，于是就产生了分数；随着生产的发展，又产生了负数，从而产生了有理数。后来，在计算直角边长为1的直角三角形斜边的长时，又产生了无理数。有理数和无理数统称为实数。课堂教学中，结合教学发展概况谈数学家的发明创造，以此激发学生对数学产生兴趣和创新意识。如开始讲解析几何时，先让学生回忆纯平面几何方法解决问题的困难，再引入笛卡尔创设解析几何的传说，指出笛卡尔“坐标几何”思想的创造为数学将几何问题代数化开辟了广阔的前景。通过相应教学内容介绍数学家的故事，不仅能使学生从中学到各种创造性思维的方法，而且能使学生从对前辈的敬仰和羡慕中萌生跃跃欲试的愿望及激发创新意识。但数学史教学所占用的时间不能过长，以免影响课堂的正常教学。二、重视直觉思维，激发学生敢于猜想很多数学家很强调“直觉”与“直觉能力”，他们对一些问题提出著名的猜想，这反映了数学家的高度的洞察力，他们能跨过错综复杂的性质和相互关系，一下子看到定理的正确性，然后再想法从逻辑上加以证明，证明虽然可能很难找到，但寻找证明的活动，却推动了数学的发展。课堂上以讲授为主的传统教学，说穿了是一种表演教学。这种教学方法，往往会埋没学生的闪光点。自觉不自觉地扼杀了学生的创新思维。学生学到只有教师的严谨逻辑推理，却缺乏创新意识。因为学生不知道教师在做该题时也曾碰壁，教师碰壁之后的创造性调整过程学生是体会不到的，自然这种教学方法就不利于对学生创新能力的培养。因此在教学过程中，教师应想方设法把课堂形式搞得活跃，特别是解题教学时，不要造成学生的思维定势，不要先发表定调意见，要激发学生充分地思考讨论，允许说错，当学生思维一度受阻，再引导学生调整思路，直到学生思维拓展，这样才会收到事半功倍的效果。虽然有时学生的想法是我们预料不到的，甚至使教师一时解决不了的危险境地，但正是这种险境学生目睹和了解了教师遇到新情况时，重新调整了思路，并脱离险境。课堂上教师的这种现丑，碰壁调整的现场表演的过程，增强了对学生解决疑难问题的韧劲和创新意识的培养。因此，在教学过程中，应当重视直觉思维能力的培养，多安排一些猜想的问题，教会学生去“猜想”，以便于培养学生的创造能力。例：若⊙O1、⊙O2、⊙O3…都经过点A、B，点P是线段AB延长线上任一点，从P向⊙O1、⊙O2、⊙O3…各圆作切线，切点分别C1，C2，C3…（1）请你判断这些切点在怎样的几何图形上；（2）请证明你得到的结论。解本题的基本思路和方法应先进行试验、对比、再进行归纳，得出结论，并进行证明。我们先考虑PC1，再由PC1是⊙O1的切线，C1是切点，所以有PC21=PA·PB（切割线定理）。同理PC22=PAPB，PC23=PAPB。于是得PC21=PC22=PC23。考虑到PC1、PC2、PC3表示线段，从而又知PC1=PC2=PC3。经比较，发现C1、C2、C3到点P的距离相等，进一步归纳，易知C1、C2、C3所有类似的点都在以点P为圆心，以PA·PB（定值）为半径的圆上。要想证明这个判断，需根据圆的定义和切割线定理进行验证。本题是初中数学课本第五册中习题中的变式，像这样源于课本又高于课本的问题对培养学生的创造性思维能力是十分有效的。如在根与系数关系的定理教学中，教师可编写一套题目：①求出下列方程的两个根X1，X2X2＋5X＋6＝0X2－5X＋6＝0X2－X－6＝0X2＋X－6＝0②计算每个方程的两个根X1＋X2，X1·X2的值，并找出X1＋X2，X1·X2的值与其方程各项系数的关系？通过学生计算、观察、分析，学生很快找出了两根的和、积与其方程各项系数的关系，在此基础上进一步引导学生归纳、猜想、提示规律、所以安排填空题：①设X1，X2是方程X2＋px＋q＝0的两个根，则X1＋X2＝X1·X2＝②设X1，X2是方程aX2＋bX＋c＝0(a≠0)的两根，那么X1+X2＝X1·X2＝③最后证明猜想，形成定理。证明时引导学生写出求根公式)04(2422acbaacbbX，然后让学生计算X1＋X2，X1·X2的值。这样，学生自己通过探索发现结论，尝到了成功的喜悦，学生兴趣特别浓，思维也特别活跃。事实证明“直觉——猜想——证明”的学习活动，是积极进取，勇于探索的精神，他既锻炼了学生坚韧顽强的意志，也培养了学生创造性思维能力。三、重视解题思路，激发创新思维1、充分发挥教材中例题的作用例题的教学可采取一题多讲，易题精讲，旧题新讲，小题大讲，在解题教学中，不要追求学生的思路跟教材一致，跟教师一致，要创设态度民主型、思维开放型的课堂，充分调动学生思维的积极性和创造性。如学习了“全等三角形”后，为了更好地帮助学生理解两个三角形全等的条件，出了这样一道题：例1：“同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等，请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形。方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。”联想全等三角形的判别定定理，涉及两边和一角的只有“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”。因些，“若这个角是两边的夹角，则这两个三角形全等”可作为一个方案，其余关于两边和一角对应相等的情况就只能都是“两边和其中一边的对角”的情况了。据“同学们知道”的情况和方案（1），可以猜想：若这个角是两边中小边的对角，则这两个三角形可能不全等（否则与“同学们知道”的情况矛盾），故应舍去这种类型的方案。依据方案（1）的条件，联想三角形中边与角之间的大小对应关系，从保证“这个角的对边是两边中的大边”出发，将角特殊化，可得方案“若这个角是直角或钝角，则这两个三角形全等”（可以分别写成两个方案）。此外，还可以将两边特殊化，得方案“若这两个三角形是等腰三角形（或若对应相等的两边也相等），则这两个三角形全等。于是，可选择的方案有：方案（2）：若这个角是这两边的夹角，则这两个三角形全等（SAS）。方案（3）：若这个角是直角，则这两个三角形全等（HL）。方案（4）：若这两边相等，则这两个三角形全等（当这个角是顶角时，即边角边公理；当这个角是底角时，即角角边公理的推论）方案（5）：若这个角是钝角，则这两个三角形全等。方案（6）：若这两个三角形都是锐角三角形，则这两个三角形全等。2、常规问题寻求思维窍门突破常规，另辟蹊路，是创新的一种表现。因此，在解答一些基本问题，常规问题时，要经常鼓励学生寻找窍门。例2：计算199919992000200020001999常规：分别把分子、分母相乘，因数字太大，计算有一定的困难窍门：若设a=1999，则2000=a+1，即可将原式进行化简。解：设a=1999，则2000=a+111001)1(10001)1(aaaa原式3、新规则问题活解经常编制一些新规则问题，让学生运用数学观点、数学思想、方法、知识来解释新规则、应用新规则、形成新规则，也是培养学生探索精神和创造性思维的有效途径例3：图形表示运算a-b+c，图形表示运算x+z-y-w，则+=解：（1－2+3）+（4+6－7－5）=0例4：定义：a∨b表示a、b两个数中取较大的一个，a∧b表示两个数中取较小的一个，则（1999∨2001）∧（2000∨2002）=(2001)4、重视数学美的挖掘古代哲学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美”。美是吸引人们关注的永恒问题，数学中美的因素极为丰富。如精炼的数学语言，体现了简洁美；图形的对称、数学结构的统一体现了和谐美等等。让学生感受这些美，对增强学生的创造能力有着不可估量的作用。例5：在正方形ABCD中，E是BC上的点，BE=2，CE=1，P在BD上。则PE+PC之值最小是多少？分析：显然正方形关于BD对称，连结PA，则有PA=PC，从而PE+PC=PA+PE≥AE当P为AE与BD交点时，等号成立，故PE+PC的最小值是132322AE本题就是利用了正方形是一个对称图形来求解的，这种对称美体现在对称图形的全等性质及广泛应用上。对美的追求和感悟可激发学生创造美的愿望，产生意想不到的创造能力。四、重视解决实际问题，促进创新思维学习数学的目的，就是为了更好地解决实际问题。学生利用已学过的知识，EDCBAcbaxwYz3214576能很好的解决实际问题，对学生保持学习数学的兴趣有很好的作用。例：我们常见到如图那样的图案，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这种形状的材料能铺成平整、无空隙的地面。问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形，为什么？（3）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你的方案画成草图。（4）请你再画一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图。解析：第（1）问显然是不能全用正五边形材料铺地面的，因为正五边形的每个内角是108，要铺成平整、无空隙的地面，必须使若干个正五边形的内角拼成一个周长（360）。但找不到符合条件n180=360的n（n为正整数），所以不能全用形状是正五边形的材料铺地面。（2）草图如右（3草图如右本题因为答案不惟一，这样可以让学生充分地去构想符合要求的铺地方案，既考查了学生的综合能力（如运算能力、分析能力、作图能力、判断能力及逻辑思维能力），又考查了学生的创新能力。同时，这道题把数学知识应用于实际生活中的铺地问题，体现了数学来源于生产和生活实践，反过来又指导实践的重要思想。新思维能力的培养是素质教育的灵魂和核心，是推行素质教育的一个永久话题。这其中值得探